Matematika diákolimpiai szakkör feladatai

2003. szeptember 19.

1. A kör alakú Kincses sziget partján áll hat pálmafa, jelölje ezeket A, B, C, D, E, F. Az ABC háromszög magasságpontja M, a DEF háromszög magasságpontja N. Az MN szakasz felezőpontjában ásták el a kalózok a kincset. Sajnos legközelebb visszaérkezve már senki nem emlékezett rá, melyik fát melyik betű jelölte. Hány helyen kell kincskeresésbe fogni a feledékeny kalózoknak?

2. Egy n´n-es táblázat mezőibe beírtunk n² db. adott, különböző valós számot. Minden sorban bekarikáztuk a legkisebbet, minden oszlopban bekarikáztuk a legnagyobbat. Hány olyan elrendezés van, ahol éppen 2n db. számot karikáztunk be?

3. Egy tetraéder kitérő éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok páronként merőlegesek. Igazoljuk, hogy a tetraéder magasságai ugyanakkorák.

4. „Csupaegy”-nek nevezünk minden olyan tízes számrendszerbeli pozitív egészt, melynek minden jegye 1. Mely m-ekre létezik m db. olyan „csupaegy” szám, melyek m-es maradékai mind különbözők?

5. Az u, v valós számokról tudjuk, hogy u, v és uv egy rac, együtthatós polinom három gyöke. Igaz-e, hogy uv racionális?

6. A k kör belsejében levő A és B pontok a középpontra szimmetrikusak. Legyen P a k körön kívül, . A PA átmérőjű kör k-t az M és N pontokban metszi. Igazoljuk, hogy

.

2003. október 31.

1. Egy bajnokságon nyolc futballcsapat vesz részt. Minden egyes csapat pontosan egyszer játszik minden csapattal, nincsenek döntetlenek. Bizonyítsa be, hogy a bajnokság végén lehet találni négy csapatot (legyenek A, B, C és D) úgy, hogy A legyőzte B-t, C-t és D-t, B csapat C-t és D-t, C pedig D-vel játszott meccsén diadalmaskodott!

2. (a) Melyik a legkisebb pozitív egész, melynek az 5-ös, 6-os és 7-es számrendszerben felírt alakjában a jegyek összege rendre 5, 6, 7?

(b) Melyik a legkisebb pozitív egész, melynek a 4-es, 5-ös és 6-os számrendszerben felírt alakjában a jegyek összege rendre 5, 6, 7?

3. Egy osztály minden egyes tanulója a következő feladatot kapja: „Vegyünk két koncentrikus, 1 és 10 egységnyi sugarú kört! A kisebbik körhöz húzzunk három érintőt, melyeknek A, B és C metszéspontjai a nagyobbik kör belsejében vannak. Mérjük meg az ABC háromszög S területét és az S₁, S₂, S₃ körcikkszerű, A, B, C csúcsú területeket is, majd számítsuk ki S₁+S₂+S₃–S értékét.”

Igazolja, hogy minden tanuló ugyanazt az eredményt kapja!

4. Legyenek a és b pozitív egészek. Igazoljuk, hogy végtelen sok pozitív egész szám nem áll elő a+b+6ab alakban!

5. Legyen , (n nemnegatív egész).

(a) Igazoljuk, hogy , ha n>0.

(b) Mutassuk meg, hogy ha i és j különböző, akkor .

(c) Hogyan bizonyíthatjuk ezek után, hogy végtelen sok prím van?

6. Mely egész x esetén lesz x⁴+x³+x²+x+1 négyzetszám?

7. Egy város utcái háromféle irányúak és a várost egyenlő területű szabályos háromszögekre osztják. A kereszteződésekben a forgalom csak egyenesen, 120^o-kal jobbra vagy balra haladhat tovább az ábrán látható módon.

Kizárólag a kereszteződésekben szabad kanyarodni. Két autó áll egy kereszteződésben. Az egyik elindul valamelyik szomszédos kereszteződés felé, és amikor eléri, a második kocsi is kezd haladni felé. Ettől a pillanattól fogva azonos sebességgel mozognak, ám nem feltétlenül kanyarodnak ugyanarra. Előfordulhat-e, hogy valamikor találkoznak?

8. „A sziszifuszi munka”: Egy dombra felvezető lépcső 1001 fokból áll, közülük néhányon egy-egy szikla található. Sziszifusz felemel egy sziklát az egyik fokról, majd a fölötte levő legközelebbi üres fokra cipeli. Ezután ellenfele, Kisördög egy fokkal lejjebb gurít egy sziklát, amelynek a lépcsőfoka alatt közvetlenül üres fok következik. A lépcsőn található összesen 500 szikla a legalsó 500 lépcsőfokon helyezkedik el egyesével. Sziszifusz és Kisördög felváltva jönnek, Sziszifusz kezd. Célja, hogy a legfelső fokra tegye az egyik sziklát. Megakadályozhatja ezt Kisördög?

Házi feladat:

Mely egész (x,y) számpárokra igaz, hogy x³+y³=2xy+8?

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak. Most az első három olimpia anyaga az első átnézendő rész.

2003. november 14.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 4 kérdésre lehetett válaszolni:

1. Sorold fel az egész megoldásait a következő egyenletnek: x³+y³=2xy+8.

2. Melyik a legnagyobb 100-nál kisebb n egész, melyre a következő tört egyszerűsíthető: .

3. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget: .

4. Egy háromszög oldalait jelölje a, b, c területét T.

(a) Melyik a max. k, amelyre ez mindig teljesül? (b) Melyik a max k, amelyre ez minden derékszögű háromszögre teljesül?

(Aki a házi feladatot elkészítette és átnézte az első három olimpia feladatait, annak nagy előnye volt, lásd 59/1, 60/2, 61/2.

4 jó válasz: Kocsis Albert Tihamér, Maga Péter, Pach Péter Pál,

3 jó válasz: Czank Tamás, Egri Attila, Kiss Tóth Christian, Mészáros Tamás, Pongrácz András, Rácz Béla András, Zanaty Péter )

5. Az ABCD paralelogramma AB oldalán úgy jelöljük ki az X és a BC oldalán az Y pontot, hogy AX=CY teljesüljön; az AZ és CX egyenesek metszéspontját jelölje P. Bizonyítsuk be, hogy a DP egyenes felezi a paralelogramma D-nél levő szögét.

6. Az ABC háromszög AB-vel párhuzamos középvonalának egyenese az A-ból és a B-ből induló magasságvonalakat rendre D-ben és E-ben metszi. Az AC-vel párhuzamos középvonalának egyenese az A-ból és a C-ből induló magasságvonalakat rendre F-ben és G-ben metszi. Igazoljuk, hogy DC, BF és GE párhuzamosak.

7. Az ABC háromszög BC oldalának pontjai M és N. . Igazoljuk, hogy .

8. Igaz-e, hogy azok a 2003 jegyű számok, melyeknek 2002 jegye 1-es egy pedig 7-es, azok mind prímek?

9. A hegyesszögű ABC háromszög mely P pontjára lesz a következő kifejezés minimális: aPA+bPB+cPC?

Házi feladat:

10. Az a₁, a₂, …, a_r és a b₁, b₂, …, b_r számok az 1, 2, …, r számok valamilyen sorrendben. Igazoljuk, hogy az a₁b₁, a₂b₂, …, a_rb_r számok között van két olyan, melyek különbsége osztható r-rel, ha (a) r=61; (b) ha r=60.

11. Az ABC háromszög köré írt kör sugara R. Igazoljuk, hogy .

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak. Most a következő három olimpia anyaga (62-64) az átnézendő rész.

2003. november 28.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 3 kérdésre lehetett válaszolni:

1. Az ABCD szabályos tetraéder éleinek hossza 1. Két azonos sebességű hangya végigfut az ABC és DAC háromszögek élein, ezt a körüljárást tartva. A két hangya által meghatározott szakasz felezőpontja által leírt vonal milyen hosszú?

2. Mennyi a pontos értéke a következő kifejezésnek: ?

3. 5 egyenes szögfelezőinek legfeljebb hány metszéspontja lehet? (Nem kell bizonyítani, hogy a max. valóban létre is jöhet.)

A házi feladatként ismétlendő olimpiák anyagaiból nagy segítséget jelentett ezeknek megoldásához a 62/3, 63/5, 64/5 feladatok.

3 jó válasz: Kocsis Albert Tihamér, Pach Péter Pál, Rácz Béla András

2 jó válasz: Hablicsek Márton, Kórus Péter, Paulin Roland, Czank Tamás, Egri Attila, Gosztonyi Balázs, Birkner Tamás, Mánfay Máté, Horváth Márton

4. Adott a síkon 10 pont úgy, hogy bármely öt között található négy, melyek egy körön vannak. Igazoljuk, hogy ekkor legalább 9 pont egy körön van.

5. Egy telefontársaság kapcsolótábláján 400 kimenet van. Bármely kettőt összeköti egy vezeték, mely kék vagy piros. A piros és kék vezetékek száma megegyezik. A rendszer megbénul, ha két azonos színű drótot elvágunk, melyeknek nincs közös végpontja. Mutassuk meg, hogy a konkurens cég technikai banditái ugyanannyiféleképpen béníthatják meg a rendszert két piros elvágásával, mint két kék elvágásával.

6. Határozzuk meg az összes olyan x, y poz. eg. számokat, melyekre .

7. Az ABC háromszög oldalaira kifele rajzoltuk az ABDE, BCFG, CAHI téglalapokat. Igazoljuk, hogy a DG, FI, HE szakaszok felezőmerőlegesei egy ponton mennek át.

Házi feladat:

8. A Bergengóc parlament tagjainak száma 1600. A legfontosabb ügyek tárgyalását 16 000 bizottság végzi, mindegyik 80 fős. Mutassuk meg, hogy kiválasztható két bizottság úgy, hogy 4 közös tagjuk legyen.

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak. Most a következő három olimpia anyaga (65-67) az átnézendő rész.

2003. december 12.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 3 kérdésre lehetett válaszolni:

1. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer összes megoldásást:

1234x–5y–6z–7v=0

–x+234y–56z–7v=0

–12x–3y+456z–7v=0

–x–2y–3z+7654v=0

2.

…

…

A fenti egyenletekben szereplő a_k (k=1, 2, 3, 4, 5) számok nem mind nullák, de minden c_s értéke 0, ahol s 7-nek hatványa. Adjuk meg c₂₀₀₃ lehetséges értékeit.

3. Egy n (n>1) napig tartó versenyen m érmet osztottak ki. Az első napon 1 érmet és a maradék ötödét, a második napon 2 érmet és a maradék ötödét és így tovább. Végül az n. napon éppen n érem maradt és ezeket kiosztották. Határozzuk meg n és m értékét.

A házi feladatként ismétlendő olimpiák anyagaiból nagy segítséget jelentett ezeknek megoldásához a 65/2, 67/5, 67/6 feladatok.

3 jó válasz: Kocsis Albert Tihamér, Rácz Béla András, Birkner Tamás, Czank Tamás, Maga Péter

2 jó válasz: Hablicsek Márton, Pach Péter Pál, Kiss Tóth Christian, Egri Attila, Király Csaba, Pongrácz András

4. Legyenek a, b pozitív valósak, n pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy

.

5. Az ABCD és az AB’C’D’ azonos körüljárású négyzetek. Igazoljuk, hogy a BB’, CC’, DD’ egyenesek egy ponton mennek át.

6. Álljon a H halmaz véges sok olyan természetes számból, amelyeknek nincs 3-nál nagyobb prímosztója. Mutassuk meg, hogy a H-beli számok reciprokainak az összege 3-nál kisebb.

7. Jelölje egy tetszőleges konvex n-szög oldalait a₁, a₂, …, a_n; belső szögeit , területét pedig t. Mely n értékekre igaz bármely konvex n-szög esetén, hogy

?

8. Tekintsünk egy kör három pontja által meghatározott három diszjunkt körívet. Mindegyik ív felezőpontja körül megrajzoljuk a végpontjain áthaladó kört. Bizonyítsuk be, hogy a kapott három kör egy ponton halad át.

Házi feladat:

9. Legyen n rögzített pozitív egész szám. Adjuk meg az

egyenletnek az összes olyan megoldását a valós számok körében, ahol minden i-re teljesül.