Olimpiai szakkör

 

2004. január 9.

A házi feladat megbeszélése után megoldottuk az OKTV II. kategória 2. fordulójának a feladatait, továbbá diofantikus egyenletek megoldási stratégiáival ismerkedtünk.

OKTV példák:

1.         Jelentsen n 1-nél nagyobb egészt.   Melyik nagyobb A, vagy B?

.

.

2.         Az ABC háromszögben .  r a beírt, R a köréírt kör sugara, az oldalak a, b, c.  Bizonyítsuk be, hogy .

3.         Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan p valós paraméter, amelyre az  egyenletnek három különböző valós gyöke van.

4.         Az ABCD húrnégyszögben AB=2AD és BC=2CD;  ismert továbbá az A-nál levő  szög mértéke és az AC átló d hossza.  Fejezzük ki a négyszög területét -val és d-vel.

 

(szorzattá alakítás)

5.                

6.        

7.         egyenletnek hány megoldása van a pozitív egészek körében, ha (a) n=2004;  (b) ha n tetszőleges pozitív egész?

8.         Legyen p 3-nál nagyobb prím, keressük a pozitív egész megoldásait a következő egyenletnek:  .

(egyenlőtlenség, nagyság szerinti sorrend)

9.        

10.       Lehet-e nyolc szomszédos köbszám összege is köbszám?

(paraméterezés)

11.       Igazoljuk, hogy végtelen sok megoldása van:  .

(oszthatósági vizsgálat,  a modulus megtalálásához segítenek az együtthatók, vagy a kitevők)

12.      

Házi feladat

1.        

2.        

3.         Igazoljuk, hogy végtelen sok egész megoldása van .

4.         Mely p, q prímekre teljesül, hogy  ?

 

2004. január 23.

A házi feladat megbeszélése után a szakkörön a komplex számokkal barátkoztunk.  Azok kedvéért, akik már jártasabbak a témában  feladtam három nehezebb problémát (1-3.), majd következett egy kis áttekintés a legszükségesebb ismeretekről.  A fogalmak és műveletek jobb megértéséhez is adtam gyakorló feladatokat (4-7.)

1.         Határozzuk meg a következő összeg értékét:  .

2.         Egy kör kerületén vannak az AA’BB’CC’DD’ nyolcszög csúcsai.  Az AA’, BB’, CC’, DD’ ívek ugyanolyan hosszúak.  Legyenek P, Q, R, S rendre az AB és A’B’, BC és B’C’, CD és C’D’, DA és D’A’ húrok metszéspontjai.  Igazoljuk, hogy PQRS paralelogramma.

3.         Az ABC háromszög csúcsaiba mutató komplex számokat jelölje a, b, c.  Igazoljuk, hogy a háromszög előjeles t területére teljesül, hogy .

4.         Mit szólsz a következőhöz .

5.         Írjuk fel a+bi alakban a következő műveletek eredményét:  (a)  (1+i)(3-2i);   (b)  (1+i)/(3-2i);   (c)   ;   (d)   .

6.         Oldjuk meg a következő egyenleteket:  (a)  ;  (b)  .

7.         Hol vannak a komplex számsíkon azok a z-k, melyekre:  (a)  Im(3i–5z)=7;  (b)  ;  (c)  ;   (d)  .

Házi feladat

1.         Egy kör kerületén vannak az AA’BB’CC’ hatszög csúcsai.  Az AA’, BB’, CC’ húrok olyan hosszúak, mint a kör sugara.  Igazoljuk, hogy az A’B, B’C és C’A szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak.

2.         Az ABC háromszög köréírt körével koncentrikus a k kör, ennek egy tetszőleges pontja M.  M-ből merőlegeseket bocsátunk a háromszög oldalegyeneseire, ezek talppontjai A’, B’, C’.  Igazoljuk, hogy az A’B’C’ háromszög területe nem függ M helyzetétől.

 

2004. február 6.

Ezt a szakkört Zábrádi Gergely tartotta.  A polinomok játszották a főszerepet.

1.         Léteznek-e olyan különböző  egész számok úgy, hogy , ha (a) p és q egész együtthatós polinomok.  (b)  p és q racionális együtthatós polinomok.  (p és q legalább elsőfokúak.)

2.         p és q páratlan egészek.  Lehet-e az polinomnak (a) egész, (b) racionális gyöke?

3.         p(x) és q(x) WWW együtthatós polinomok.  Létezik r(x) valós együtthatós polinom, amelyre p(x)=q(x)r(x)  Következik-e, hogy r(x) is WWW együtthatós, ha (a) WWW=racionális,  (b) WWW= egész?  Mi lehet WWW, hogy következzen?

4.         Kezdő és Második felváltva írják be az együtthatókat a következő egyenletbe.  Kezdő nyer, ha 3 valós gyök lesz, különben Második.  Kinek van nyerő stratégiája?    .

5.         Mutassuk meg, hogy az  polinomnak racionális t/s alakú  gyökeire teljesül, hogy  t osztója a0-nak, s osztója an-nek, ha (t,s)=1.

6.         p(x) és q(x) egész együtthatós primitív polinomok (együtthatóik relatív prímek).  Bizonyítsuk be, hogy p(x)q(x) is primitív.

7.         (Gauss lemma)  Bizonyítsuk be, hogy ha egy egész együtthatós polinom felbontható két racionális együtthatós polinom szorzatára, akkor két egész együtthatós polinom szorzatára is felbontható.

8.         p(x) egész együtthatós.  p(0)=p(1)=1.  Bizonyítsuk be, hogy p(x)-nek nincs egész gyöke.

9.         Egy racionális együtthatós harmadfokú polinomnak nincs valós gyöke.  Bizonyítsuk be, hogy irreducibilis.

Házi feladat

1.         Mutassuk meg, hogy egy páros fokú páratlan együtthatós polinomnak nem lehet racionális gyöke.

2.         Bizonyítsuk be, hogy ha egy 1 főegyütthatójú n-edfokú polinom végtelen sok helyen egy egész szám n-edik hatványa, akkor egy elsőfokú polinom n-edik hatványa.

3.         Legyen  .  Igazoljuk, hogy minden olyan racionális együthatós polinom, ami minden egész helyen egész értéket vesz fel, az felírható  alakban.  (b0, b1, …, bn egészek.)

 

2004.  február 20.

A házi feladatok megbeszélése után geometriai egyenlőtlenségeket vizsgáltunk.

1.         Igazoljuk, hogy a háromszög szögeit radiánban mérve a szokásos jelölésekkel: 

.

2.         Közismert, hogy a háromszög köréírt és beírt körének sugaraira R legalább 2r.  Milyen konstans lesz a 2 helyett, ha tetraéder köréírt és beírt gömbjének sugarait vizsgáljuk?

3.         Igazoljuk, hogy a háromszög magasságainak, szögfelezőinek és súlyvonalainak összegére:

.

4.         Egy háromszögben AB=5, BC=4.  Mekkora lehet a háromszög legnagyobb és legkisebb szöge?

5.         Mekkora az a maximális sugarú kör a sakktáblán, amely egyetlen fehér mezőbe sem metsz bele?

Házi feladat

1.         Rajzoljunk egy kör köré egy háromszöget és egy négyzetet. Bizonyítsuk be, hogy a négyzet kerületének több, mint fele a háromszög belsejébe esik.

2.         Igazoljuk, hogy a háromszög szögfelezőinek összegére, és a hozzáírt körök sugaraira:

.

 

2004. március 5.

Az előző napon lezajlott OKTV döntő feladatait oldottuk meg az II. és III. katagóriában.

 

2004.  március 9.

Ezen a napon volt az első olimpiai válogatóverseny.  A feladatok a következők voltak:

 

1.         Egy hóbortos zöldséges csak három fajta gyümölcsöt árul, almát, körtét és narancsot.  Egyszerre csak egyetlen szem gyümölcsöt vehetünk, de hajlandó egy vásárlót napjában több alkalommal is kiszolgálni.  Az árak is furcsák:  egy alma éppen annyi tallér, ahány körte van még a boltban.  Egy körte kétszer annyi tallér, mint ahány narancs van a boltban.  Egy narancs éppen háromszor annyi tallér, mint ahány alma van a boltban. 

            Furfangos Frigyes egy reggel kifigyelte, hogy a boltban az almák, körték és narancsok száma éppen a=6, k=7, n=3.  Szeretné megvásárolni mind a 16 darabot.  Legkevesebb hány tallérra van szüksége Frigyesnek és milyen sorrendben vásárolja meg a gyümölcsöket?  (Feltételezzük, hogy aznap más vásárló nem volt.)

Határozzuk meg a szükséges összeget általában is  a, k, n függvényében!

             

2.         Az ABC háromszögben AC=BC, a beírt kör középpontja K.  Legyen P az AKB háromszög köré írt kör olyan pontja, mely az ABC háromszög belsejében van.  P-n át párhuzamosakat húzunk az AC és BC szárakkal. Ezek AB-t rendre a D és E pontokban metszik.  Párhuzamost húzunk P-n át AB-vel is, ez AC-t és BC-t rendre az F és G pontokban metszi.   

            Igazoljuk, hogy a DF és EG egyenesek metszéspontja az ABC köré írt körön van!

 

3.         Egy pozitív egész számot közvetlenül egymás után kétszer leírva „dupla” számot kapunk.  (Pl dupla szám a 357357, amit a 357-ből kaptunk.)  Bizonyítsuk be, hogy a négyzetszámok között végtelen sok „dupla” szám van!

 

 

2004. március 19.

1.         Egy pontból induló négy félegyenes egy féltérbe mutat.  Igazoljuk, hogy el lehet metszeni egy síkkal úgy, hogy a kialakuló konvex négyszög paralelogramma legyen.

2.         Van-e a természetes számoknak két olyan végtelen részhalmaza A és B, hogy minden n természetes szám egyértelműen álljon elő egy A-beli és egy B-beli szám összegeként?

3.         Mutassuk meg, hogy tetszőleges an, bn  (n=1, 2, …, N) valós számokból álló szám N-esekre van olyan valós x, amelyre  teljesül.

4.         Bizonyítsuk be, hogy az x+y+2z+2t=a és 2x–2y+z–t=b egyenletrendszernek tetszőleges (a, b) egészekre van egész megoldása.

5.         Egy részeges ember nagyon szereti a sört, minden nap legalább egy korsóval megiszik;  továbbá minden nap egész számú korsóval iszik.  Minden héten 12 korsót fogyaszt el.  Bizonyítsuk be, hogy van néhány egymást követő nap, amelyeken összesen 20 korsónyi sört iszik meg.

6.         Létezik-e a természetes számoknak olyan nemkonstans végtelen sorozata, amelyben a második elemtől kezdve minden elem a két szomszédjának a harmonikus közepe?

 

2004. április 2.

A márciusi válogatóverseny feladatainak megoldásait részletesen megbeszéltük.  További feladatok:

1.         Tekintsük a H={1, 2, …, n} halmaz összes r elemű részhalmazát.  Mindegyikből kiválasztjuk a legkisebb elemet.  Ezek számtani közepét jelölje F(n,r).  Igazoljuk, hogy .

2.         Legyen Tn az {1, 2, .., n} halmaz azon S nem-üres részhalmazainak a száma, ahol az S-beli elemek átlaga egész szám.  Mutassuk meg, hogy Tn–n mindig páros szám.

3.         Legyen p(n,k) az (1, 2, …, n) számok azon permutációinak száma, amelyekben k fixpont van.  Igazoljuk, hogy   .

4.         Legyen H={1, 2, …, 2001} és jelölje H azon részhalmazainak számát S, melyekben az elemek összege páros.  Jelölje továbbá H azon részhalmazainak számát D, melyekben az elemek összege páratlan.  Melyik nagyobb és mennyivel S, vagy D?

 

2004. április 16.

Az alábbi feladatok néhány évvel ezelőtt a kínai OKTV döntőben szerepeltek.

1.         Az ABC  hegyesszögű háromszögben C-nél nagyobb szög van, mint B-nél.  A D pont a BC oldalon van, az  tompaszög.  Az ABD háromszög magasságpontja H.  Az ABD köré írt körön és ABC háromszögön belül van F.  Igazoljuk, hogy F az ABC magasságpontja akkor és csak akkor, ha HD és CF párhuzamos és H az ABC köré írt körön van.

2.         Legyen a egy valós szám.  Definiáljuk polinomok egy sorozatát:  f0(x)=1 és   (n=1, 2, …).  Igazoljuk, hogy   (n=0, 1, 2, …).  Határozzuk meg a polinomokat explicit módon is.

3.         Legyen m pozitív egész.  Igazoljuk, hogy vannak olyan a, b, k egészek, melyekre a és b páratlan, k nem negatív és .

4.         Határozzuk meg a legnagyobb l számot úgy, hogy amennyiben az  minden gyöke nem negatív, akkor   teljesül minden nem negatív x esetén. 

5.         Egy 4×4×4-es kocka 64 egységkockából épül fel.   Ezek közül 16 piros.  Egy színezés „változatos”, ha minden 1×1×4-es részen belül pontosan egy piros van.  Hány „változatos” színezés van?  A forgatások egymásutánjával azonos helyzetbe hozható színezéseket különbözőnek tekintjük.

 

2004. április 30.

Ezen a szakkörön a Turán verseny feladatait beszéltük meg:

1.         Egy n×n-es táblázat mezőibe az 1, 2, …, n2 számokat írtuk, mindegyiket egyszer.  Vegyünk két azonos sorban, vagy oszlopban levő számot és tekintsük a nagyobb és a kisebb hányadosát.  Tekintsük az összes lehetséges n2(n–1) ilyen számpárból származó törteket, legyen ezek közül a legkisebb a táblázat „törpéje”.

            Legfeljebb mekkora lehet a „törpe”?

 

2.         Az ABC háromszög belsejében levő P pontnak a BC, CA, AB oldalegyenesekre eső merőleges vetületei rendre D, E, F.  Tegyük fel, hogy .  Az ABC háromszög hozzáírt köreinek középpontjai legyenek A’, B’, C’. 

            Igazoljuk, hogy P az A’B’C’ háromszög köré írt kör középpontja.

 

3.         Legyen .  Az x0 valós számból kiindulva képezzük az   x0,   x1=f(x0), ..… , xn+1=f(xn), … sorozatot, amíg csak xn≠0.  Nevezzük az x0 számot „V-számnak”, ha a sorozat 1=f(x0)

 véget ér, azaz valamely n-re   xn=0.

            Bizonyítsuk be, hogy minden nyílt intervallum tartalmaz V-számot.

 

4.         A pozitív egész n számból a következő módon képezzük a g(n) számot:

                        (i)         n utolsó jegyét a szám elejére hozzuk, így kapjuk k-t;

                        (ii)        k szám négyzete legyen j;

                        (iii)       j szám első jegyét az utolsó helyre mozdítva kapjuk g(n) értékét.

Például n=504 esetén k=450, j=202500, g(504)=025002=25002.

            Határozzuk meg mindazon n számokat, melyekre g(n)=n2.

 

5.         A k1, k2, k3, k4 különböző körök, k1 és k3 kívülről érintik egymást P-ben.  k2 és k4 körök is kívülről érintik egymást ugyanezen P pontban.  A körök P-től különböző közös pontjai:  , , , .  Mutassuk meg, hogy:

.

 

6.         Legyen f(x) olyan egész együtthatós polinom, amely nem írható fel két alacsonyabb fokú egész együtthatós polinom szorzataként.  Tegyük fel, hogy f(x2) viszont felírható két őnála alacsonyabb fokú egész együtthatós polinom szorzataként. 

            Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egész együtthatós g(x) és h(x) polinom és k egész, hogy

.

 

2004.  május 14.

A tanév utolsó olimpiai szakköre.  (Május 20-án  2. válogatóverseny.)

1.         Egy egyenesen van n piros és n kék pont.  Mutassuk meg, hogy az egyenesnek van olyan pontja, melynek a pirosaktól vett távolságainak összege megegyezik a kékektől vett távolságainak összegével.  Mi a helyzet, ha a pontok a síkban vannak elszórva?

2.         Az ABCD konvex négyszögben az A, B, C csúcsoknál ugyanakkora szög van.  Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, köréírt körének középpontja O.  Igazoljuk, hogy O, M, D egy egyenesen vannak.

3.         Mutassuk meg, hogy bármely pozitív egész n szám felírható k–m=n alakban, ahol k és m számoknak ugyanannyi prímosztójuk van.

4.         Pozitív egészek egy halmaza olyan, hogy bármely 2004 szomszédos szám között van néhány halmazbeli elem.  Igazoljuk, hogy van a halmazban két olyan szám, hogy egyik osztja a másikat.

5.         Egy 50×50-es tábla mezőit 4 színnel színeztük ki.  Igazoljuk, hogy kiválasztható egy olyan mező, melynek oszlopában felette és alatta is van vele megegyező színű mező, továbbá sorában tőle jobbra is és balra is van vele megegyező színű mező.

6.         ABCD húrnégyszög, az ABC, BCD, CDA, DAB háromszögek beírt köreinek középpontjai D’, A’, B’, C’. Igazoljuk, hogy A’B’C’D’ téglalap.