Olimpiai szakkörök 2005 őszén:

 szeptember 23,  október 6,  21,  november 18, december 2, 16.

 

2005.  szeptember 23.

1.         Az ABC háromszög súlypontjának az AB oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe D, a C csúcs tükörképe B-re E.  Igazoljuk, hogy A, D, E egy egyenesen vannak.

2.         Az ABC háromszög megfelelő oldalain vannak az A’, B’, C’ pontok úgy hogy az AA’, BB’, CC’ egyenesek egy ponton mennek át.  Az A’B’C’ köré írt kör a háromszög oldalegyeneseit az A”, B” , C” pontokban metszi.  Igazoljuk, hogy az AA”, BB”, CC” egyenesek egy ponton haladnak át.

 

A 2. feladat kapcsán átismételtük a Ceva tételt, felelevenítettük a trigonometrikus formáját és megemlítettük egy lehetséges általánosítását;  páratlan oldalszámú sokszögekre.  (Vigyázat! A megfordítás itt nem működik.)  A 2. feladat a Carnot tétel speciális esete, mi csak azt emeltük ki, hogy a  feladat ábrája vetítéssel más alakot ölt, tehát a kör helyet más kúpszelet esetén is igaz az állítás.

 

3.         Az ABC háromszög A csúcsából induló magasságának talppontja A’.  A B és C csúcsokból induló súlyvonalak az AA’ szakaszt D-ben és E-ben metszik.  Igazoljuk, hogy:

 .

4.         Az ABC háromszög köré írt körét A-ban érintő egyenes a BC egyenest A’ pontban metszi.  Hasonlóan definiáljuk  a B’ és C’ pontokat.  Igazoljuk, hogy A’, B’, C’ egy egyenesen vannak.

 

A 3. és 4. feladat kapcsán átismételtük a Menelaosz tételt.  Ennek bebizonyítottuk a következő általánosítását:

5.         Adottak a síkban az A1, A2, …, An pontok és az e egyenes.  Az AiAi+1 egyenes Bi-ben, metszi e-t, ha i<n, az AnA1 egyenes Bn-ben metszi e-t.  Ekkor:

 .

6.         Az ABCD trapézban a párhuzamos oldalak AB és CD,  AC=BC.  Az AB oldal felezőpontja F,  az F-et tartalmazó e egyenes az AD szárat P-ben,  az BD átló B-n túli meghosszabbítását pedig Q-ban metszi.  Legyen  ,  .  Igazoljuk, hogy  = .

7.         Az ABC háromszög BC és AC oldalán adottak A’ és B’.  Az AA’ és BB’ szakaszok metszéspontja D.  A CD és A’B’ szakaszok metszésponja E.  Az ,   az ABA’E négyszög húrnégyszög.  Igazoljuk, hogy AA’=BA’.

 

2005. október 6.

A házi feladatok megoldása után diofantikus egyenleteket oldottunk meg. 

Szorzattá alakítás:

1.        

2.         egyenletnek hány megoldása van a pozitív egészek körében, ha (a) n=2004;  (b) ha n tetszőleges pozitív egész?

3.         Legyen p 3-nál nagyobb prím, keressük a pozitív egész megoldásait a következő egyenletnek:  .

4.        

5.                

6.            

 Egyenlőtlenség, nagyság szerinti sorrend:

7.        

8.         Lehet-e nyolc szomszédos köbszám összege is köbszám?

Oszthatósági vizsgálat valamilyen modulus szerint:

9.         Lehet-e (a) 2001,  (b) 2005 szomszédos négyzetszám összege négyzetszám?

10.       Mely p, q prímekre teljesül, hogy ?

Házi feladat

11.      

12.      

13.      

 

2005.  október 21.

A  házi feladatok közül megbeszéltük a 11. és 12. feladatot.  Kiderült, miért érdemes 11-es oszthatóságot vizsgálni a 11-nél és hogyan lehet szorzattá alakítani a 12-esben akár a 3. feladat bal oldalának nevezetes szorzattá alakításával, akár szimmetrikus polinomok segítségével.

1.         Egy egynél nagyobb pozitív egész egynél nagyobb kitevőjű hatványát nevezzük hatványszámnak. 

(a)  Adjunk meg 4 tagú számtani sorozatot, melynek minden tagja hatványszám.

(b)  Megadható-e akármilyen hosszú számtani sorozat, melynek minden tagja hatványszám?

(c)  Igazoljuk, hogy nem létezik végtelen hosszú számtani sorozat, melynek minden tagja hatványszám.

(d)  Van-e olyan végtelen hosszú számtani sorozat, melynek egyetlen tagja sem hatványszám?

2.         Készítsünk n darab végtelen sok elemet tartalmazó, diszjunkt halmazt, melyek uniója a pozitív egészek halmaza úgy, hogy tetszőleges halmaz bármely k elemének összege alapján el lehessen dönteni, melyik halmazból választották ki a számokat.  Oldjuk meg a feladatot, ha (a) n=k=3;  (b)  Milyen más n és k számra találhatunk megoldást?  (c) n=k=2;  (d)  n=4, k=2;

A (b) részre két eredmény született:  ha n tetszőleges k pedig páratlan, illetve ha n és k relatív prímek.

3.         Melyik a legnagyobb pozitív egész melynek jegyei (a szélsők kivételével)  kisebbek, mint a szomszédjaik számtani közepe?

4.         Három végtelen hosszú számtani sorozatban szerepelnek az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok, de nem tudjuk, melyik szám, melyik sorozatban.  Igazoljuk, hogy az 1980 is benne van valamelyik sorozatban.  Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész benne van valamelyik sorozatban.

Házi feladat

A 2-es feladat (d) része,  továbbá (e) n=k=4.

5.         Egy háromszög oldalai egészek, beírt körének sugara 1.    Igazoljuk, hogy az oldalak számtani sorozatot alkotnak.

 

2005. november 18.

A házi feladatok közül  az előző szakkör 2. feladatának (d) részét beszéltük meg.  Ezt követően rácsgeometriai bevezető következett, melynek során bebizonyítottuk a Pick tételt, végül a II. kategoria OKTV feladatai közükl megoldottuk a két legnehezebbet.

1.         (Pick tétel)  Ha a rácssokszög határán h, belsejében pedig b rácspont van, akkor a területe .

2.         Egy konvex síkidom belsejében 50 rácspont van.  Igazoljuk, hogy létezik olyan egyenes, melynek a síkidom belsejébe eső szakaszán legalább 8 rácspont van.  (Így adtam fel, igazából ha  rácspont van belül, akkor lesz legalább m+1 egy egyenesen.)

3.         k darab rácspont között biztosan van három, amelyek által meghatározott háromszög súlypontja is rácspont.  Keressük meg a legkisebb k-t, amelyre igaz az állítás, feltéve, hogy a pontok közül semely nincs 3 egy egyenesen.

4.         Egy rácstéglalapot, amelyiknek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, 0,5 területű rácsháromszögekre bontunk.  Bizonyítandó, hogy a háromszögek között legalább kétszer annyi derékszögű van, mint a téglalap rövidebb oldalának a hossza.  (Kürschák verseny 95/1.)

5.         Az ABC hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai legyenek rendre A’, B’, C’, a magasságpont M. A BM szakasz felezőpontja F.  C’F és BC metszéspontja Q,  A’B’ és CC’ metszéspontja S.  Igazoljuk, hogy QS merőleges AC-re.

6.         Legyen f(n) azon n jegyű pozitív egészek száma, amelyekben előfordul az 1-es és a 2-es számjegy is.  Mutassuk meg, hogy f(n) nem lehet négyzetszám, ha n>1.

Házi feladat

A 3. és 4. feladat.  A következő szakkörön folytatjuk a rácsgeometriát.

 

2005. december 2.

A házi feladat megbeszélésével kezdtük a szakkört.  Az előző szakkör 3. feladatában szereplő k-ról kiderült, hogy értéke 9.  Ez  a feladat további meggondolnivalókat vetett fel:

i.)                  Mi a helyzet a feladat három dimenziós testvérénél?

ii.)                 Egy dimenzióban a feladat már ismerős volt: legalább 5 egész között mindig van három, melyek összege osztható 3-mal.  Igazoltuk, hogy legalább 2n-1 egész között mindig van n, melyek összege osztható n-nel.

Ezután rácsgeometriai feladatokat oldottunk meg és a III. kategória OKTV feladataiból csemegéztünk.

1.         Igaz-e, hogy a 7k+3, k=0, 1, 2, … számtani sorozatban végtelen sok palindrom szám van?

2.         Adott legalább kettő, de véges sok 1/2k alakú szám, amelyek összege legfeljebb 1 (és minden k pozitív egész).  Lássuk be, hogy a számok két csoportba sorolhatók úgy, hogy mindkét csoportban a számok összege legfeljebb ½.

3.         Egy tetraédernek legalább négy éle legfeljebb egységnyi hosszúságú.  Mekkora lehet maximálisan a tetraéder térfogata?

4.         Legyen AB az O középpontú körnek egy olyan húrja, amely nem átmérő.  Jelölje M az AB szakasz felezőpontját, R pedig az OM félegyenesnek a k-val vett metszéspontját.  Vegyünk fel egy tetszőleges P belső pontot a rövidebbik AR íven.  A PM félegyenes messe a kört a Q pontban és legyen S az AB és QR húrok metszéspontja.  Az RS és PM szakaszok közül melyik a hosszabb?

5.         Mutassuk meg, hogy csak négyoldalú szabályos rácssokszög létezik.

6.         Legyen n tetszőleges egész.  Igazoljuk, hogy létezik olyan origó középpontú kör, mely legalább n rácspontot tartalmaz.

 

2005.  december 16,

1.         Igazoljuk, hogy egy n´n-es négyzet legfeljebb (n+1)2 számú rácspontot fedhet le.

2.         Keressük meg a következő egyenlet valós megoldásait:

.

3.         Lássuk be, hogy ha egy T tartomány területe nagyobb, mint n (pozitív egész), akkor eltolható úgy, hogy a belsejében n+1 rácspontot tartalmazzon.

4.         Lássuk be, hogy ha egy T tartomány területe kisebb, mint 1, akkor eltolható úgy, hogy a belsejében ne legyen rácspont.

5.         Az ABC és A’B’C’ háromszögek oldalai a, b, c és a’, b’, c’.  Igazoljuk, hogy a két háromszög akkor és csak akkor hasonlók, ha

6.         Bizonyítsuk be, hogy ha n tetszőleges pozitív egész, akkor létezik n olyan pont a síkban, amelyek közül három nincs egy egyenesen, bármely három pont által meghatározott háromszög területe racionális, de bármely két pont távolsága irracionális.

7.         Minkowski tétel:  Ha az origóra szimmetrikus konvex T tartomány területe nagyobb 4-nél, akkor az origón kívül tartalmaz legalább még egy rácspontot.

8.         Legyen N olyan 16-jegyű pozitív egész, amelynek a jegyei között a 0, 1, 4, 9 nem fordul elő.  Bizonyítsuk be, hogy N-nek van néhány olyan egymást követő számjegye, amelyek szorzata négyzetszám.  Igaz-e ez, ha N 15 jegyű?