Olimpiai szakkörök 2006 első felében:

január 6, 20, február 3, 17, március 3

2006. január 6.

A szakkör elején bebizonyítottuk Minkowski tételének segítségével, hogy minden 4l+1 alakú prím felírható két négyzetszám összegeként.

Ezután a II. kategória OKTV feladatait oldottuk meg, néhány további feladat társaságában.

1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x>0:

2. Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követő háromjegyű szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével.

3. A valós számokon értelmezett másodfokú függvény a együtthatójára 1>|a|≠0 teljesül. Bizonyítsuk be, hogy ha f(a)=–b és f(b)=–a, akkor |c|<3.

4. Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, amíg a többiek közönségként hallgatták őket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket?

5. Az ABCD konvex négyszögben ABDÐ=ACDÐ. Legyenek a BC és AD élek felezőpontjai rendre E és F. Az AC és BD átlók metszéspontjának az AB és CD oldalegyenesekre eső merőleges vetületei G és H.

Igazoljuk, hogy az EF és GH egyenesek egymásra merőlegesek.

6. Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin színű kaméleon van. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy idő után minden kaméleon egyforma színű lesz?

Házi feladatok:

1. Legyen valós számok sorozata, amelyet az alábbi rekurzióval definiálunk. Igazoljuk, hogy .

, .

2. Határozzuk meg mindazon pozitív egész (b;c) számpárokat, amelyekre a következő sorozatnak csak véges sok tagja lesz összetett.

3. Jelölje az ABC háromszög megfelelő szögfelezőit és , oldalait a és b. Határozzuk meg a legkisebb k számot, amelyre minden háromszög esetén teljesül:

.

2006. január 20.

1. Legyenek AB és CD egy kör húrjai, amelyeknek nincs közös pontjuk, továbbá K a CD húr egy belső pontja. Szerkesszük meg a kör kerületén a P pontot úgy, hogy a CD húrnak az ABP háromszögbe eső szakaszát a K pont felezze.

2. Egy feleletválasztós tesztvizsga 4 kérdésből állt. Minden kérdésre háromféle választ lehetett adni. A vizsgán résztvevő diákokról kiderült, hogy bármely hármójukhoz volt olyan kérdés, amelyre mindhárman másképpen válaszoltak. Legfeljebb hány diák vehetett részt a vizsgán?

3. A p, q, r, valós számok páronként különbözők és teljesül rájuk, hogy q=p(4–p), r=q(4–q), p=r(4–r). Mi lehet p+q+r értéke?

2006. február 3.

Ezt a szakkört Kós Géza vezette.

2006. február 17.

A szakkör elején a prímekkel kapcsolatban áttekintettünk néhány kérdéskört, ezután következtek a feladatok.

1. Igazoljuk, hogy végtelen sok 4k+1 és végtelen sok 4k-1 alakú prím van.

2. Mutassuk meg, hogy van olyan prím, amely előtt és után közvetlenül egymás után legalább 100 összetett szám áll.

3. Mely páros számok írhatók fel két páros összetett szám összegeként? Mely páros számok írhatók fel három páratlan összetett szám összegeként?

4. Az a, b, c, d egész számokra teljesül, hogy n|ab, n|cd és n|ac+bd. Igazoljuk, hogy ekkor n|ac és n|bd.

5. Létezik-e végtelen hosszú számtani sorozat, melynek minden eleme prím?

6. Egy 6 tagú számtani sorozat minden eleme pozitív prím. Igazoljuk, hogy a differencia osztható 30-cal.

7. Határozzuk meg x-et, ha a következő számok mind prímek: (a) x, x+2, x+4; (b)x, x+6, x+12, x+18, x+24; (c) x, ; (d) .

8. Igazoljuk, hogy a következő összegek közül egyik sem lehet egész: (a) (p prím); (b) (k>1, poz. eg.); (c) .

2006. március 3.

Az OKTV II-III. kategória döntők feladatait beszéltük meg.

1. A nemnegatív egészeken értelmezett t(n) függvényre t(0)=t(1)=0, t(2)=1. Ha n>2, akkor t(n) a legkisebb olyan pozitív egész, amely nem osztja az n számot. Legyen

T(n)=t(t(t(n))). Határozzuk meg S értékét, ha

S=T(1)+T(2)+T(3)+....+T(2005)+T(2006).

2. Építünk egy, az A kezdőpontból induló, összesen 2006 darab útszakaszból álló úthálózatot, amely körutat nem tartalmaz. (Ezt úgy értjük, hogy a hálózat bármely pontjából bármely másik pontjába pontosan egy módon juthatunk el egymáshoz csatlakozó

útszakaszokon.) Bármely két útszakasznak nincs közös belső pontja és legfeljebb egy végpontjuk közös. Az úthálózat egyik pontjába egy értéktárgyat rejtettünk el. Az A kezdőpontból elindul egy játékos, aki ezt szeretné megtalálni. Minden elágazásnál az onnan

induló, még be nem járt útszakaszok közül egyenlő valószínűséggel választja ki, merre menjen tovább. Visszafordulni nem szabad útja során.

Az úthálózatot úgy építettük meg, hogy a legkisebb legyen a valószínűsége annak, hogy a játékos megtalálja az értéktárgyat. Mekkora ez a minimális valószínűség?

3. Adott a síkon egy K középpontú egységsugarú kör és egy ezt nem metsző e egyenes. K-ból az e egyenesre emelt merőleges talppontja O, KO=2. Legyen H azoknak a köröknek a

halmaza, amelyeknek a középpontja e-n van és kívülről érintik a K középpontú egységkört.

Bizonyítsuk be, hogy van a síkon olyan P pont, amelyből H minden körének e-n levő átmérője ugyanakkora 0°-nál nagyobb) szögben látszik. Határozzuk meg P helyzetét és a

látószög mértékét.

4. Egy tetszőleges, nem derékszögű háromszög esetén rajzoljuk meg a talpponti háromszöget, majd ennek a talpponti háromszögét stb. Hány olyan páronként nem hasonló háromszög létezik, amelynek a szögei fokokban mérve egész számok, és az eljárás során előbb-utóbb az eredetihez hasonló háromszöghöz jutunk?

5. Az r és s pozitív egészekről tudjuk, hogy bármely k pozitív egészre ks-nek legalább annyi osztója van, mint kr-nek. Lássuk be, hogy r osztója s-nek.

6. Egy kocka élhossza n egység. A felületét alkotó darab egységnégyzet közül maximálisam hányat lehet kijelölni úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös oldala?

2006. március 17.

A március 8-án lezajlott válogatóverseny feladatait beszéltük meg először.

1. Legyen H={1,2,3,…,100}. A H halmaz egy részhalmazát összefüggőnek nevezzük, ha csak egyetlen számot, vagy néhány szomszédos számot tartalmaz. Határozzuk meg a legnagyobb k egészt, amelyre megadható H-nak k részhalmaza úgy, hogy közülük bármely két különbözőnek a metszete összefüggő.

2. Az ABC háromszögben AB+BC=3AC. A beírt kör az AB és BC oldalakat rendre D és E pontokban érinti, a beírt kör középpontja I. D-t és E-t az I pontra tükrözve a G és H pontokat kapjuk. Igazoljuk, hogy ACGH húrnégyszög.

3. Jelölje R a valós számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan f : R→R függvényt, amelyre

teljesül R minden x, y elemére.

További feladatok:

4. Legyenek a, b, c olyan egészek, melyek összege 0. Igazoljuk, hogy négyzetszám.

5. Az a, b, c, d természetes számokra teljesül hogy ab=cd. Bizonyítsuk be, hogy összetett szám.

6. Az a, b, c, d, e egész számokról tudjuk, hogy összegük és négyzeteik összege is osztható a t páratlan számmal. Bizonyítsuk be, hogy szintén osztható t-vel.

2006. április 7.

A szakkört Kós Géza tartotta.

1. Az ABCD négyzet belsejében melyek azok a P és Q pontok, amikre AP+BP+PQ+CQ+DQ minimális?

2. Az ABCD egységnégyzet belsejében adott a P és Q pont. Bizonyítsuk be, hogy

3. Legyen ABCDEF egy konvex hatszög, amelyre AB=BC=CD, DE=EF=FA és teljesül. Legyen G és H a hatszög két olyan belső pontja, amelyekre teljesül. Bizonyítsuk be, hogy AG+GB+GH+DH+EH³CF.

4. Az EF átmérőjű k kört az e egyenes az E pontban érinti. Tekintsük az e egyenes összes olyan A, B pontpárját, melyre az AB szakasz az E pontot tartalmazza és egy rögzített állandó. Egy ilyen pontpár esetén legyen A’, illetve B’ a k kör metszéspontja az AF, illetve BF szakasszal. Igazoljuk, hogy az A’B’ szakaszok egy ponton mennek keresztül.

5. Legyen D az ABC hegyesszögű háromszög olyan belső pontja, amelyre és

(a) Határozzuk meg az hányados értékét.

(b) Bizonyítsuk be, hogy az ACD, illetve a BCD háromszög körülírt köréhez a C pontban húzott érintők merőlegesek.

6. Adottak az e egyenesen az A, B, C és D pontok ebben a sorrendben. Mi azon P pontok mértani helye a síkban, amelyekre az APB és CPD szögek egyenlők?

2006. április 28.

Az idei Városok Viadala versenyének tavaszi feladataiból oldottunk meg néhányat.

1. Létezik-e 100 olyan (a, b) számpár, amire a, b és ab minden jegye legalább 6?

2. Az ABC hegyesszögű háromszög AB és BC oldalaira kifele rajzoltuk az egybevágó ABMN és LBCK téglalapokat. Igazoljuk, hogy AL, NK és MC egy ponton haladnak át.

3. Egy -ös táblázatban különböző egész számok vannak. Aladár kiválasztja a legnagyobbat, majd letörli sorát és oszlopát. Ezt ötször ismétli, mindig a maradék táblázattal, a kapott öt szám összege legyen A. Ugyanígy jár el Bendegúz is, csak ő mindig a legkisebb számot választja, az ő összege lesz B. Lehet-e, hogy B>A? Lehet-e, hogy B nagyobb minden más olyan számötös összegénél, melyekre bástyákat helyezve, azok nem ütik egymást?

4. . Igazoljuk, hogy minden pozitív egész k esetén polinomnak van negatív együtthatója.

5. Az ABC háromszög szögfelezője BC-t A’-ben metszi. Legyen az AA’ szakasz tetszőleges belső pontja X. , , , . Igazoljuk, hogy .

6. Van-e olyan n és k pozitív egészek amelyre balról olvasott első jegyei éppen és balról olvasott első jegyei éppen ?

Ez volt a tanév utolsó szakköre. Válogatóverseny május 12-én.