Olimpiai szakkörök 2007 januártól:

 Január 12.  26.  február  9.  23.  március  9.

 

2007  január  12.

Ezt a szakkört Hraskó Andráas és Pataki János vezette.

1.         Az 1, 2, …, N számok mindegyike piros, vagy zöld.  Egyszerre három szám színét megváltoztathatjuk, ha számtani sorozatot alkotnak.    Mely N-re érhető el bármilyen színezésről indulva, hogy minden szám piros legyen?

 

 

2.         10!-nak legfeljebb hány osztója adható meg úgy, hogy közülük semely néhány szorzata ne legyen négyzetszám?

 

3.         Egy k elemű halmaznak legfeljebb hány részhalmaza adható meg melyekben az elemek száma nem osztható 7-tel, de bármelyik két különböző metszete osztható 7-tel?

 

 

2007.  január 26.

Korábbi évek olimpiai feladatait oldottuk meg: 1997/1;  1998/1;  1998/2; 1998/4

(Az eddigi olimpiák feladatainak és megoldásainak egyik jó forrása:

 http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html

Általánosabb olimpiai oldal:

http://imo.math.ca/ )

 

2007. február 9.

 

2007. február 23.

 

2007. március 9.

Az OKTV döntő és a válogatóverseny feladatait oldottuk meg.

Válogatóverseny feladatai:

1.         Az ABCD trapézban , AB>CD.  Legyenek K és L rendre az AB és CD szakaszokon úgy, hogy AK/KB=DL/LC.  A KL szakasz P és Q pontjára teljesül, hogy  és .

            Bizonyítsuk be, hogy PQBC húrnégyszög.

 

2.         A  szabályos n szög oldalaira és átlóira ráírunk egy-egy pozitív egész számot, ezek közül a legnagyobb legyen r.  A számozás során az 1, 2, …, r számok mindegyikét legalább egyszer felhasználtuk.  Bármely  háromszög oldalai közül kettőn ugyanaz a szám áll, a harmadikon pedig egy kisebb.

            Határozzuk meg  r legkisebb és legnagyobb lehetséges értékét.

 

3.         Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egész n szám van, amire  osztható -tel.

OKTV döntő  II. kategória:

OKTV döntő III. kategória:

 

2007. március 23.

1.         Jelölje A(n) az első n darab prímszám összegét.  Bizonyítsuk be, hogy A(n) és A(n+1) között mindig van négyzetszám.

2.         Az ABC háromszög beírt körének sugara legyen egységnyi.  Jelölje ra az AB és AC oldalakat, valamint a háromszög köréírt körét belülről érintő kör sugarát;  hasonlóan értelmezzük az rb és rc sugarakat is.  Határozzuk meg ra+rb+rc  minimumát.

3.         Mutassuk meg, hogy minden k poz. egészhez létezik olyan k-jegyű poz egész, mely osztható jegyeinek összegével, de jegyei között nem szerepel a 0.

4.         Határozzuk meg   maximumát, ahol az xi –k nemnegatív számok és összegük 1-gyel egyenlő.