Olimpiai szakkörök 2007 őszén:

szeptember 21, október 4, 19, november 9, 23, december 14.

2007. szeptember 21.

Bemelegítő feladatok régi Kürschák versenyekről:

1. Biz. 17|2x+3y 17|9x+5y.

2. Az A, B, C, D pontok egy egyenesen vannak. Szerkesztendő olyan négyzet, melynek két átellenes oldalának egyenese A-n és B-n, a másik kettő C-n és D-n megy át.

3. Biz. nem írható fel két másodfokú egész együtthatós kifejezés szorzataként.

4. a,b,c,d Z, Biz. 12|(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).

5. Hány zérussal végződik 1000!

6. Egy kör gördül egy kétszer akkora sugarú kör belsejében. Milyen pályát ír le a gördülő kör kerületének valamely pontja?

22. Balkán Olimpia feladatai:

7. Legyen ABC hegyesszögű háromszög, melynek beírt köre az AB ill. AC oldalakat D ill. E pontokban érinti. Legyenek X ill. Y az ill. szögek szögfelezőinek metszéspontjai a DE egyenessel és legyen Z a BC szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy az XYZ háromszög akkor és csak akkor egyenlőoldalú, ha .

8. Határozzuk meg az összes olyan p prímszámot, amire egy egész szám köbe.

9. Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Bizonyítsuk be az

egyenlőtlenséget. Mikor áll fenn egyenlőség?

10. Legyen egész szám. Legyen olyan, hogy S nem tartalmaz sem két olyan elemet, amelyek egyike osztója a másiknak, sem két olyan elemet, amelyek relatív prímek. Mi az ilyen S halmazok lehetséges elemszámának maximuma?

Az 1-8. feladatokat megbeszéltük, a 9. és 10. házi feladat.

2007. október 4.

1. a,b,c,d valós számok. és ac+bd=0. Mennyi lehet ab+cd értéke?

2. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott AB, a beírt és az AB-hez hozzáírt kör sugara.

3. Egy kocka alakú terem falain mozog három vadászpók. Hálójuk az általuk alkotott háromszögben feszül ki. A teremben röpköd egy légy. A pókok és a légy sebessége azonos. Elkaphatják-e a pókok a legyet?

4. Ketten amőbáznak. Amíg A játékos minden lépésben egy mezőt jelölhet be, addig B játékos minden lépésben kettőt. Akkor nyer B, ha tíz szomszédos jelöltje lesz. Megakadályozhatja-e A, hogy B nyerjen?

5. A k kör belsejében van az ABCD négyzet. Tekintsük azt a kört, amely belülről érinti k-t és érinti az AB és AD egyenesek A-ból induló B-t és D-t nem tartalmazó felét, ez a kör k-t A’-ben érinti. Hasonlóan kapjuk B’, C’ és D’ pontokat. Igazoljuk, hogy AA’, BB’, CC’ és DD’ egy ponton mennek át.

6. Hány olyan p(x)=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f polinom van, amelynek együtthatói 100-nál nem nagyobb különböző pozitív egészek és p(x) osztható x²+x+1-gyel?

7. a, b olyan pozitív egészek, hogy prímszám. Legfeljebb mekkora lehet p?

8. BBH a t területű háromszögben , ahol R a köréírt kör sugara.

2007. október 19.

1. Kiemelhető-e (a+b+c) ()-ből;

(b)Bontsuk szorzattá: .

2. Igazoljuk, hogy racionális szám.

3. Legyenek a, b, c különböző valós számok. Lehet-e ?

4. Van 25 különböző súlyú sajtunk. Mindig megtehető-e, hogy valamely sajt kettévágásával a sajtok két 13 darabos, egyenlő súlyú kupacba rendezhetők legyenek?

5. Az ABC háromszög belső szögfelezői az AD és BE szakaszok, ahol D és E a szögfelezők metszéspontjai a megfelelő szemközti oldalakkal. ED felezi az ADC szöget. Mekkora a háromszög A-nál lévő szöge?

6. Egy számtani sorozat tagjai és differenciája is pozitív egészek. A sorozat első n tagjának a tízes számrendszerbeli alakjában sehol sem szerepel 9-es számjegy. Legfeljebb mekkora lehet n?

7. Keressük meg mindazon pozitív egész n számokat (n³2), melyekre teljesül a következő:

Minden n-hez relatív prím a és b szám esetén n akkor és csak akkor osztója (a–b)-nek, ha (ab–1)-nek is.

8. A K kerületű háromszög csúcsainak távolságösszege a sík tetszőleges P pontjától D, a háromszög oldalegyeneseinek távolságösszege P-től M. Bizonyítsuk be, hogy 4D²³4M²+K².

9. Keressük meg mindazon véges (x₀, x₁, x₂, …, x_n) sorozatokat, melyekben minden i-re (i=0, 1, 2, …, n) az x_i értéke éppen a sorozatban szereplő i számok számával egyenlő.

2007. november 9.

1. . Biz: .

2. Határozzuk meg az A szám egészrészét. .

3. Igaz-e, hogy minden pozitív egész n esetén páratlan?

4. Az ABC háromszög belső pontja P, AB=BC. , . Határozzuk meg a BPC szög nagyságát.

5. Van egy kétkarú mérlegünk és hét súlyunk. Ezek 1, 2, 4, 8, ..., 64 grammosak. Ezekkel az 1-et kimérhetem több módon: pl. egy db 1 grammossal, vagy egy 2-es és egy 1-essel, ez utóbbit a mérendő mellé téve. Igazoljuk, hogy nincs olyan súly, melyet 21-nél több módon is kimérhetünk! Keressük meg mindazokat, melyek 21 féleképpen mérhetők ki!

6. Adott a síkon n olyan pont, hogy bármely kettejük távolsága egész szám (n³4).

(a) Bizonyítsuk be, hogy n=4 esetén van két pont, amelyeknek távolsága 3-mal osztható.

(b) Bizonyítsuk be, hogy n>4 esetén a pontok között fellépő távolságoknak legalább az egyhatoda osztható 3-mal.

7. Az s₁, s₂, s₃, … , s₂₀₀₃ nemnegatív valós számok összege 2, továbbá tudjuk, hogy s₁s₂+s₂s₃+s₃s₄+…+s₂₀₀₂s₂₀₀₃+s₂₀₀₃s₁=1. Legyen S= s₁²+s₂²+…+s₂₀₀₃². Határozzuk meg az adott feltételek mellett S lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét.

2007. november 23.

1. Egy kör alakú sziget partján áll hat szikla. A kalózok belevésték a számokat 1-től 6-ig és az 123 és 456 háromszögek magasságpontjai közt félúton elásták a kicset. Visszatérve megdöbbenve tapasztalták, hogy a hullámverés lekoptatta a sziklákról a számokat. Legkevesebb hány helyen kell ásniuk, hogy megtalálják a kincset?

2. Mutassuk meg, hogy n>2 esetén: .

3. Letörölhető-e az 1!, 2!, …100! számok közül egy úgy, hogy a többi szorzata négyzetszám legyen?

4. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra teljesül.

5. Milyen maradékot ad 39!, ha maradékosan osztjuk 4100-zal?

6. Nemnegatív valós számok végtelen sorozatát jelölje a₁, a₂, … . Van olyan c szám, amelynél nincs a sorozatnak nagyobb eleme. A sorozatról még a következőt is tudjuk:

, minden i, j esetén, ha i¹j. Igazoljuk, hogy c³1.

7. Egy sakk körmérkőzésen k ember vett részt és mindenki mindenkivel egyszer játszott. Miután az összes mérkőzés lezajlott kiderült, hogy bármely 4 versenyző között van olyan, aki a többi három versenyző közül egyet megvert, egytől kikapott, a harmadikkal döntetlenben egyezett meg. Legyen ilyen feltételek mellet k a lehető legnagyobb. Bizonyítsuk be, hogy 6£k£9.

8. Az ABC háromszög magasságpontja M, körülírt körének középpontja O, sugara R. Tükrözzük a háromszög csúcsait rendre a szemközti oldalegyenesekre; legyenek a tükörképek X,Y,Z, és tegyük fel, hogy ezek a tükörképek egy egyenesen vannak. Mutassuk meg, hogy OM = 2R.

2007. december 14.

1. Megadható-e öt poz. eg. úgy, hogy bármely kettő különbsége éppen a két szám lnko-ja.

2. Lehet-e négyzetszám (a) 4 azonos jegyre végződő szám; (b) , ahol d|n; (c) ; (d) (n-1)n(n+1); (e) 2d-1, 5d-1 és 13d-1 mindegyike, ha .

3. Az ABC derékszögű háromszögben meghúztuk a beírt kör azon két érintőjét, amelyek merőlegesek az AB átfogóra. Ezek az átfogót P és Q-ban metszik. Mekkora a PCQ szög?

4. Egy hóbortos zöldséges csak három fajta gyümölcsöt árul, almát, körtét és narancsot. Egyszerre csak egyetlen szem gyümölcsöt vehetünk, de hajlandó egy vásárlót napjában több alkalommal is kiszolgálni. Az árak is furcsák: egy alma éppen annyi tallér, ahány körte van még a boltban. Egy körte kétszer annyi tallér, mint ahány narancs van a boltban. Egy narancs éppen háromszor annyi tallér, mint ahány alma van a boltban.

Furfangos Frigyes egy reggel kifigyelte, hogy a boltban az almák, körték és narancsok száma éppen a=6, k=7, n=3. Szeretné megvásárolni mind a 16 darabot. Legkevesebb hány tallérra van szüksége Frigyesnek és milyen sorrendben vásárolja meg a gyümölcsöket? (Feltételezzük, hogy aznap más vásárló nem volt.)

Határozzuk meg a szükséges összeget általában is a, k, n függvényében!

5. Az ABC háromszögben AC=BC, a beírt kör középpontja K. Legyen P az AKB háromszög köré írt kör olyan pontja, mely az ABC háromszög belsejében van. P-n át párhuzamosakat húzunk az AC és BC szárakkal. Ezek AB-t rendre a D és E pontokban metszik. Párhuzamost húzunk P-n át AB-vel is, ez AC-t és BC-t rendre az F és G pontokban metszi.

Igazoljuk, hogy a DF és EG egyenesek metszéspontja az ABC köré írt körön van!

6. Egy pozitív egész számot közvetlenül egymás után kétszer leírva „dupla” számot kapunk. (Pl dupla szám a 357357, amit a 357-ből kaptunk.) Bizonyítsuk be, hogy a négyzetszámok között végtelen sok „dupla” szám van!