Olimpiai szakkörök 2008 szeptembertől:

 Szeptember 19, október 2. 17, november 7, 21, december 12.

 

2008. szeptember 19.

Ezen a szakkörön a Ceva és Menelaosz tételt elevenítettük fel, több gyakorló feladattal, néhány lehetséges általánosítással.  További feladatok:

1.           (n=1, 2, …)  Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amely relatív prím a sorozat minden tagjához.

2.         Az ABCD konvex ngyszögben BC=AD, de nem párhuzamosak. E és F rendre BC és AD belső pontjai, BE=DF. Most egyenesek következnek: AC és BD metszete P, BD és EF metszete Q, EF és AC metszete R.  E és F változnak, tekintjük az összes PQR háromszöget.  Biz. ezek körülírt köreinek van P-től különböző közös pontja.

3.         Egy versenyen 6 feladat volt.  Bármely két feladatra igaz, hogy a versenyzők 2/5-öd részénél többen oldották meg mindkettőt.  Senki nem oldotta meg mind a hatot.  Biz. van legalább két olyan versenyző, aki pontosan 5 feladatot oldott meg.

4.         Teljes hatványnak nevezzük a  ts alakú számokat, ahol t,s>1 egészek.  Mutassuk meg hogy minden n-hez létezik olyan n elemű halmaz, melynek bármely nem üres részhalmazában az elemek átlaga teljes hatvány.

 

2008.október 2.

A szakkörön bebizonyítottuk az Euler-Fermat és a Wilson tételt.  A feladatok a következők voltak:

  1. Biz. minden páratlan n-re .
  2. Mi lesz  utolsó két jegye?
  3. Tegyük  fel Biz b 19-cel osztható.
  4. Mely p prímre van olyan b, hogy ?
  5. Biz. minden egésznek van olyan többese, amely néhány 1-es majd néhány 0-ból áll. 
  6. Biz. 100 egész közül kiválasztható néhány, amelyek összege 100-zal osztható.
  7. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész n számnak van olyan többese, amelyben a jegyek összege n.

Házi feladat:

  1. Mely számoknak van olyan többese, amelyben csak 1-es és 2-es jegyek vannak?
  2. Legyen k nem neg. egész. Tegyük fel a1, … ,an  egészek legfeljebb 2k különböző maradékot adnak n+k-val osztva. Bizonyítsuk be, hogy a számok közül néhány összege osztható n+k-val.

 

2008. október 17.

A szakkörön polinomos feladatok szerepeltek és a hozzájuk kapcsolódó ismereteket beszéltük meg.

1. p(x) egész együtthatós polinomra p(3)=p(7)=2.  Lehet-e egész helyen 9 a helyettesítési érték?

2. Lehet-e  mindhárom gyöke racionális?

3. Egy egész együtthatós polinomot (x-1)-gyel osztva a maradék 2, (x-2)-vel osztva 1.  Mennyi a maradék (x-1)(x-2)-vel osztva?

4. Tudjuk, hogy xp(x)=(x-3)p(x+1) minden valós számra és p(4)=-12.  Mi lehet p(x) polinom?

5. Határozzuk meg azokat a különböző a1, … ,an  egész számokat, amikre a felírható két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzataként.

6. , n>1 egész. Bizonyítsuk be, hogy f(x) nem írható fel két legalább elsőfokú polinom szorzataként, ahol mindkét polinom együtthatói egészek.

Házi feladat

7. Legyen p(x) negyedfokú racionális együtthatós polinom, főegyütthatója 1. Tudjuk, hogy  egyetlen valós gyöke van.  Igazoljuk, hogy ez a gyök racionális.

 

2008. november 7.

  1. (a);  (b) ;  (c) ; (d);  (e)
  2. (a) ;  (b)  ; (c)
  3. Mennyi N egész része. 
  4. Biz. .
  5. Mennyi M egész része .
  6. Biz  =1, ahol  S={pozitív egészek legalább második hatványai}.

 

2008. november 21.

Jelöléseink: r beírt kör sugara, R köréírt kör sugara, ma magasság, fa belső szögfelező, sa súlyvonal, ra hozzáírt kör sugara, da oldalegyenestől mért távolság, Ra csúcstól vett távolság

1.  Biz tetszőleges háromszögnél:

(a) ;  (b)  ;

(c)  ;  (d) 

(e)  ;  (f) 

2.  Erdős –Mordell egyenlőtlenség:  tetszőleges belső pontra .

3.  Legyen P az ABC hegyesszögű háromszög belsejében fekvő pont.  Bizonyítandó, hogy a háromszög kerületén fekvő pontoknak a P-től való távolságai közül a legnagyobb legalább kétszer akkora, mint a legkisebb.

4.  Egy körbe írt sokszög oldalainak négyzetösszege mikor lesz maximális?

5.  ABC háromszög magasságpontja M, M vetülete az oldalakon A’, B’, C’.  Biz .

 

 

2008. december 12.

1.         Mely p, q prímekre teljesül, hogy  ?

2.         Biz, nincs egész (nem triviális) megoldása  (a);  (b)  .

3.         Igazoljuk, hogy megadható n különböző pozitív egész, amelyek reciprokának összege 1.

4.         Lehet-e néhány szomszédos egész reciprokának összege egész?

5.         Igazoljuk, hogy minden pozitív egész n-re van egész megoldása: .

6.         Van-e végten sok olyan egész oldalú derékszögű háromszög, ahol a befogók különbsége 1?

7.         Nemnegatív egész megoldásokat keresünk (a)  ;  (b)  .