Olimpiai szakkörök 2009 januártól:

Január 9 és 23, február 6 és 20, március 6 és 20.

 

2009. január 9. 

A szakkör feladatai:  2008/9-es OKTV II. kat 2. forduló és 2000/1-es OKTV  III. kat döntő

1. Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, melyen az f(x)  függvény értelmezhető és határozzuk meg a függvény értékkészletét  ezen az értelmezési tartományon. .

2.  Határozzuk meg a következő egyenlet valós megoldásait: .

3.  Egy 1 milliárd lakosú országban egy olcsó AIDS teszt bevezetését tervezik. Tudjuk, hogy kb. minden ezredik ember fertőzött. Kiderült, hogy a betegek 99,9\%-ánál pozitív, viszont sajnos az egészségesek 0,1\%-ánál is pozitív eredményt ad a teszt. Ilyen paraméterek mellett elvetették a használatát.  Egy matematikus azt javasolta, hogy végezzék el kétszer egymás után a vizsgálatot és ha mindkettő pozitív, csak akkor küldjék orvoshoz a pácienst.  Így már bevezethető lett a teszt. A következő két kérdéssel arra keressük a választ, mi ennek a magyarázata. (a) Számítsuk ki a valószínűségét, hogy beteg valaki, ha az első teszt pozitív. (b) Számítsuk ki  a valószínűségét, hogy beteg valaki, ha mind a két teszt pozitív.

4.   Az a, b, c oldalú t területű hegyesszögű háromszögre abc=a+b+c teljesül.  Biz. be, hogy .

 

5.  Legyen a c pozitív egész és jelölje c1, c3, c7 és c9 rendre a c azon pozitív osztóinak a számát, amelyek utolsó számjegye 1, 3, 7 ill.9.  Bizonyítsuk be, hogy c1+c9³c3+c7.

6.  Adottak a síkon a k1 és k2 körök, valamint a P pont. Szerkesztendő olyan a P-n átmenő e egyenes, amely  a köröket (i=1,2) Ai, Bi pontokban metszi úgy, hogy a ki körvonalak alkalmas Ci pontjaira  teljesül.  ( Nem szükséges annak diszkutálása, hány ilyen e egyenes létezik, illetve létezik-e egyáltalán ilyen e egyenes.)

7.  Adott k+m darab különböző, 1-nél nagyobb egész szám, ahol mindegyik ai páros sok, mindegyik bj pedig páratlan sok (nem feltétlenül különböző) prím szorzata.  Hányféleképpen lehet a k+m darab szám közül néhányat (akár egyet sem, akár az összeset) kiválasztani úgy, hogy bármelyik bj-nek (j=1, 2, …, m) a kiválasztott számok között páros sok osztója legyen?

 

2009. január 23.

1. Biz.  pozitív számokra .

2.  Mely (x,y,z) pozitív egészekre teljesül: ?

3.  Határozzuk meg a legkisebb valós c számot, amelyre bármely háromszög kerületén van két pont, melyek a kerületet felezik és távolságuk nem nagyobb a kerület c-szeresénél.

4.  Mely poz. prím valamely poz. eg. kitevős hatványa írható fel két pozitív egész köbének összegeként.

5.  Van-e olyan f(x) egész együtthatós, 2009-edfokú polinom, amelyre bármely n egészre az f(n), f(f(n)), f(f(f(n))),… számok páronként relatív prímek?

6.  Legyen n>2, az  számok összege pozitív.  Ezen számok egy  permutációját jónak hívjuk, ha , k=1,2,…,n esetén.  Legalább hány jó permutáció van?

7. Az ABC háromszög A, B, C csúcsainak merőleges vetülete rendre a C, A, B- ből induló külső szögfelezőre A’, B’, és C’.  Az A’B’C’ köréírt kör sugara d.  ABC háromszögbe írt kör sugara r, félkerülete s.  Biz. .

8.  Adott egy   pontú  egyszerű gráf. (n=3k+1, k. poz.eg.). Legalább hány éle van, ha bármely n pont közt lesz négy, amely teljes négyes?

 

2009. február 6.

A 2002-es IMO feladatai

 

2009. február 20

A 2003-as IMO feladatai

 

2009. március 6.

Az OKTV II és III kategória döntős feladatai

 

2009. március 20.

A Surányi János emlékverseny (első olimpiai válogató) feladatai:

1.  A derékszögű koordinátarendszerben nevezzük doboznak az  olyan téglalapokat, amelyeknek oldalai a tengelyekkel párhuzamosak. Ha két doboznak van közös belső, vagy határpontja, akkor őket metszőknek nevezzük. 

            Legfeljebb mekkora lehet n, ha megadható n doboz B1,B2,…,Bn úgy hogy Bi és Bj akkor és csak akkor metszők, ha n nem osztja sem i–(j+1)-et, sem i–(j-1)-et.

 

2.         Az ABC háromszög beírt köre az AB és AC oldalakat rendre a D és E pontokban érinti.  A beírt körnek és az AEB háromszög köré írt körnek E-től különböző közös pontja legyen F, a D  pont merőleges vetülete az EB egyenesen G.  Igazoljuk, hogy 2ABEÐ=BFGÐ.

 

3.         Igazoljuk, hogy a ,,,…, számok csupa különböző, páratlan maradékot adnak -nel osztva.

 

Továbbá a Romániai Matematikai Mesterek verseny 2009 feladatai: