Olimpiai szakkörök 2010 szeptembertől:

 Szeptember 17, október 1. 15, 29,  november 12. 26, december 10.

 

 2010. szeptember 17.

1.Biz. n egész között van néhány olyan, melyek összege osztható n-nel.

2.Ha az 1, 2, …, 2n számok közül választunk n+1-et, akkor egy kiválasztott oszt egy másikat.

3.Ha (a;b)=1, akkor létezik x, y egészek, melyekre ax-by=1.

4.Egy sakkmester 77 nap alatt legfeljebb 132 partit játszott de minden nap játszott legalább egyet. Biz. van néhány egymás utáni nap, melyek alatt éppen 21 partit játszott.

5.Az 1, 2, …, 101 számokat valamilyen sorrendben felírták. Biz letörölhető 90 úgy, hogy a maradék monoton növő, vagy csökkenő legyen.

6.Mely számoknak van olyan többese, amelyben csak 1 és 2 jegyek vannak?

7.Biz. valamely Fibonacci szám legalább 2010 darab 0-ra végződik.

8.Egy 5 m2-es szobában van 9 szőnyeg, mindegyik 1 m2 területű. Biz. van két szőnyeg, melyek legalább 1/9 m2 területen fedik egymást.

 

9.         Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós P(x) polinomot, amely kielégíti a  P(a-b)+P(b-c)+P(c-a) =2P(a+b+c) egyenlőséget, valahányszor a, b, c olyan valós számok, amelyekre teljesül ab+bc+ca=0.

10.       Egy ABCD konvex négyszögben a BD átló nem szögfelezője sem az ABCÐ, sem a CDAÐ szögnek. A P pont az ABCD négyszög belsejében fekszik és teljesül rá PBCÐ=DBAÐ és PDCÐBDAÐ. Biz ABCD húrnégyszög Û AP=CP.

11.       Mely számoknak van olyan többese, amelynek szomszédos jegyei különböző paritásúak?

 

2010. október 1.

1. Az ABC háromszög BE és CF magasságai az M pontban metszik egymást. FE és BC egyenesek metszéspontja U. BC felezőpontján át párhuzamost húzunk az EUBÐ szög felezőjével ez a CA, AB, MC, MB egyeneseket rendre a P, Q, X, Y pontokban metszi. Igazoljuk, hogy az APQ és MXY háromszögek köré írt körök ugyanakkora sugarúak.

2. Az ABC háromszögben AB¹AC. Az A-ból induló magasság talppontja L. E és F az AD és BC felezőpontjai, G a B pont merőleges vetülete az AF egyenesen. Igazoljuk, hogy az EF egyenes érintője a GFC köré írt körnek.

3.  ABCD paralelogramma, az  ABC háromszög köréírt körének BE átmérője. Igazoljuk, hogy az ADE és ABC  háromszögek köré írt körök ugyanakkora sugarúak.

4. Az ABC háromszögben AC¹3AB. A BC oldal felezőpontján át párhuzamost húztunk a BACÐ szög felezőjével ez az AB és AC egyeneseket X és Y pontokban metszi. X tükörképe Y-ra legyen Z. BY és CZ egyenesek metszéspontja D. Igazoljuk, hogy a BDCÐ szög szögfelezője párhuzamos XY-nal.

A szakkör végén az előző szakkör 10-es példáját beszéltük meg és bebizonyítottuk az izogonális konjugáltról szóló következő tételt:

5. Az ABC háromszög síkjának egy tetszőleges P pontja esetén az AP, BP, CP egyenesek tükörképei rendre az A-ból, B-ből, C-ből induló szögfelezőkre egy ponton –P izogonális konjugáltján– mennek keresztül.

 

 2010. október 15.

1. Max hány szám lehet egymás után, ha bármely 7 szomszédos öszege <0, bármely 11 szomszédos öszege >0?

2. Egy konvex n szög minden átlóját behúztuk, nem megy át 3 egy ponton. (a) Hány részre vágtuk a soxöget? (b) Hány háromszög keletkezett az ábrán?

3. Egy horgászversenyen 5-en vannak, lehet holtverseny. Hányféle lehet a végeredmény?

4. Egy n elemű halmaznak hányféleképpen adhatjuk meg két diszjunkt részhalmazát?

5. n gyerek ül egy kerek asztal körül. Átülhetnek valamelyik szomszédos székre. Hány ülésrend alakulhat ki?

6. Hány n betűs szó alkotható az a, b, c, d betűkből, ha a és b nem lehet szomszédos?

7. {1,2,…,2001} halmaznak S darab 77 elemű részhalmaza van, melyben az elemek összege páros, T darab ahol páratlan. Melyik nagyobb és mennyivel?

8. Az 1, 2, …, 2n számok egy permutációját nevezük jónak, ha valamely két szomszédos különbségének abszolút értéke n. Biz az összes permutáció több, mint fele jó.

 

Olimpiai szakkör 2010. október 29.

1.  Prím-e 4545+5454?       

2. 600 db 6-os és néhány 0 van egy számban. Lehet-e négyzetszám?

3. 1!, 2!, …100! Kihagyható-e közülük egy úgy, hogy a maradék szorzata négyzetszám legyen?

4. 413+41000+4n Van-e olyan poz. egész n, amelyre négyzetszám?

5. 15x2–7y2=9 egész megoldásait keressük.

6. Biz.  n5+n4+1 n>1 egészre nem prím.

7. 9-jegyű számban nincs 0, minden jegy egyszer szerepel, utolsó jegy 5. Lehet-e négyzetszám?

8. Mely poz. egész n-re van poz egészekből álló megoldása az (x+y+z+v)2=n2(xyzv) egyenletnek?

 

2010. november 12.

Egyenlőtlenségek

 

2010. november 26.

1. Egy körút mentén van k benzinkút, bennük összesen annyi benzin, amennyi egy autónak elég a kör megtételéhez. Igazoljuk, hogy valamely kúttól indulva körbe lehet autózni. Az induló kútnál üres az autó tankja és be tudjuk tölteni akár az összes benzint is a tankba.

2. Végtelen négyzetrács egy  negyedének rácspontjaihoz írható-e egy-egy egész, hogy minden sor és oszlop minden egészet pont egyszer tartalmazzon?

3. Bbh minen egész egyértelműen írható fel kül. Fib. számok összegeként, ha  szomszédosak nem szerepelhetnek az összegben.

4. Egy kör mentén van n pont, ezekhez a-t vagy b-t írunk. Bbh max [(3n–4)/2] húr húzható, melyek végeinél kül. betűk vannak és melyek nem metszik egymást a kör belsejében.

5. Az {1,2,…,n} halmaz összes részhalmazát tekintjük, amelyekben nincsenek szomsz. számok. Minden részhalmazban összeszorozzuk az elemeket, majd az eredményt négyzetre emeljük. Mennyi ezen számok összege? (n=3-ra 23.)

6. Egy m´n-es mátrix minden sorában bekarikázzuk a legnagyobb p számot, minden oszlopában áthúzzuk a legnagyobb q számot. Bbh legalább pq számot kétszer is jelöltünk.

7. Egy végtelen sakktáblán n lépést téve hány kül. mezőre kerülhet egy huszár?

8. Adott n(>1) egyenes, nincs köztük párhuzamos, nem megy át három egy ponton. Bbh megszámozhatók a kialakult síkrészek ¹0, max n abszolút értékű egész számokkal úgy, hogy bármely egyenes mindkét oldalán a számok összege 0.

9. a0=9, an+1=3an4+4an3 , bbh a10 végén több, mint 1000 db. 9-es van.

 

Olimpiai szakkör 2010. december 17. 

1.  a1=a2=1, a3=-1, an=an-1an-3. a2010=?  

2.  a0=2, a1=7, an+1=7an –12an-1. Adjunk explicit képletet.

3.  f:R®R.  f(x+1)+f(x–1)=Ö2f(x).  BBH f periódikus.

4.  a1=a2=1, an=(an-12+2)/an-2, (n>2) BBH ai egész.

5.  Biz 10001, 100010001, 1000100010001, … mind összetett.

6. a1=1, an+1=an+(1/an2), korlátos-e a sorozat? Biz a9000>30.

7.  a(1)=1, a(2)=12, a(3)=20, a(n+3)=2a(n+2)+2a(n+1)–a(n)BBH 1+4a(n)a(n+1) négyzetszám.

8.  Adott néhány poz szám, páronkénti szorzataik összege1. BBH letörölhető közülük egy, hogy a maradék összege <Ö2.

9.  a(n)= a Pascal háromszög n-ik sorának elemeinek reciprokösszege.  Korlátos-e a sorozat?

10.  a1=3, an+1= an/2, ha an páros, (an+1983)/2 ha an páratlan. BBH a sorozat periódikus.   min periódus=?