Olimpiai szakkör

Olimpiai szakkörök feladatanyaga a 2017-2018-as tanévben:

Olimpiai szakkör 2017. szeptember 15.

1. Bebizonyítandó, hogy egész szám akkor és csakis akkor összege két négyzetszámnak, ha kétszerese ilyen tulajdonságú. (Kürschák 1938.1.)

2. Minden a₀>1 egész számra definiáljuk az a₀, a₁, a₂, … sorozatot a következőképpen. Minden n≥0-ra legyen a_n₊₁=, ha egész, különben a_n₊₁=a_n+3. Határozzuk meg az összes olyan a₀ értéket, amihez van olyan A szám, amire a_n=A teljesül végtelen sok n-re. (IMO 2017.1.)

3. Legyenek a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, és b olyan egész számok, hogy . Bebizonyítandó, hogy ezek a számok nem lehetnek mindannyian páratlanok. (Kürschák 1931.2.)

4. Legyen d olyan pozitív egész, amely nem egyenlő sem 2-vel, sem 5-tel, sem 13-mal. Mutassuk meg, hogy a {2, 5, 13, d} halmazban van két olyan különböző elem: a és b, amelyekre ab–1 nem négyzetszám. (IMO 1986.1.)

5. a²+u²=b²+(u+1)²=c²+(u+2)²=d²+(u+3)². (a, b, c, d, u egészek )

6. Legyenek a és b olyan pozitív egészek, amelyekre ab+1 osztója a²+b²-nek. Bizonyítsuk be hogy (a²+b²⁾/(ab+1) négyzetszám. (IMO 1988.6.)

7. Van-e 21 szomszédos pozitív egész úgy, hogy az első 11 és a további 10 négyzetösszege megegyezik?

8. . (a, b, c, d, u pozitív egészek ) (VMO 2002.5.)

Olimpiai szakkör 2017. október 13.

1. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének középpontja O. Legyen P az A-ból induló magasság talppontja a BC oldalon. Tegyük fel, hogy BCAÐ≥ABCÐ+30°. Bizonyítsuk be, hogy CABÐ+COPÐ<90°. IMO 2001.1.

2. Legyenek R és S különböző pontok egy Ω körön, amikre RS nem átmérője a körnek.

Legyen l az Ω körhöz a R pontban húzott érintőegyenes. Legyen T az a pont, amire teljesül az, hogy

S az RT szakasz felezőpontja. Legyen J egy olyan pont az Ω kör rövidebb RS ívén, amire teljesül

az, hogy a JST háromszög Γ körülírt köre az l egyenest két különböző pontban metszi. Legyen Γ és

l metszéspontjai közül az A pont az, ami közelebb van az R-hez. Az AJ egyenes Ω-val vett második

metszéspontja legyen K. Bizonyítsuk be, hogy a KT egyenes érintője a Γ körnek. IMO 2017.4.

3. Legyen ABCD egy húrnégyszög. A D pontból a BC, CA és AB egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek rendre P, Q és R. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül PQ=QR, ha az ABCÐ és ADCÐ szögek szögfelezőinek metszéspontja az AC egyenesen van. IMO 2003.4.

4. Legyen P egy pont az ABC háromszög belsejében. Az AP, BP és CP egyenesek

másik metszéspontja az ABC háromszög Γ körülírt körével legyen rendre K, L és M. A Γ körhöz C

pontban húzott érintő messe az AB egyenest az S pontban. Tegyük fel, hogy SC = SP. Bizonyítsuk

be, hogy MK = ML. IMO 2010.4.

5. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen I. A háromszög P belső pontja kielégíti a PBAÐ+PCAÐ=PBCÐ+PCBÐ egyenlőséget. Bizonyítsuk be, hogy AP≥AI, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha P=I. IMO 2006.1

6. P és Q az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalszakaszán úgy helyezkedik el, hogy PABÐ=BCAÐ és CAQÐ=ABCÐ. Az M ill. N pontok az AP ill. AQ egyenesen úgy helyezkednek el, hogy P az AM szakasz felezőpontja és Q az AN szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy a BM és CN egyenesek az ABC háromszög körülírt körén metszik egymást. IMO 2014.4.

Olimpiai szakkör 2017. október 27.

1. Egy versenyen a versenyző és b bíró van, ahol b≥3 páratlan szám. Mindegyik bíró mindegyik versenyző teljesítményét „megfelelt” ill. „nem megfelelt” minősítéssel értékeli. Tegyük fel, hogy a k számra igaz az, hogy bármely két bíró értékelése legfeljebb k versenyző esetén esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy . IMO 1998.2.

2. Legyen ABCD egy téglalap alakú tábla, amelynek oldalhosszai: AB=20, BC=12. A táblát felbontjuk 20×12 egységnégyzetre. Legyen r egy adott pozitív egész szám. egy bábuval akkor és csakis akkor léphetünk valamelyik négyzetről egy másikra, a akét négyzet középpontjának távolsága . A feladat az, hogy olyan lépéssorozatot találjunk, amivel a bábuval eljuthatunk arról a négyzetről, amelynek egyik csúcsa A, arra a négyzetre, amelynek egyik csúcsa B. (a) Biz. nincs megoldás, ha r osztható 2-vel vagy 3-mal; (b) Biz. a feladat megoldható, ha r=73; (c) Van-e megoldás r=97 esetén? IMO 1996.1.

3. Legyen n pozitív egész szám, és legyenek A₁, A₂, …, A_2n+1 a B halmaz részhalmazai. Tegyük fel, hogy mindegyik A_i-nek pontosan 2n eleme van; mindegyik A_iÇA_j metszetnek pontosan egy eleme van; a B halmaz minden eleme benne van legalább két A_i-ben. n milyen értékeire rendelhető hozzá a B minden eleméhez a 0 és 1 számok egyike úgy, hogy minden A_i-nek pontosan n olyan eleme legyen, amelyhez a 0-t rendeltük? IMO 1988.2.

4. Egy n×n-es mátrixot, amelynek elemei az S={1,2,…,2n-1} halmazból valók, ezüst mátrixnak nevezünk, ha minden i=1,2,…,n esetén az i-dik sor és az i-dik oszlop együtt tartalmazza S valamennyi elemét. Biz (a) nem létezik ezüst mátrix, ha n=1997; (b) végtelen sok olyan n van, amire létezik ezüst mátrix. IMO 1997.4.

5. Egy matematikaversenyen 21 lány és 21 fiú vett részt. Mindegyik versenyző legfeljebb hat feladatot oldott meg. Mindegyik fiúhoz és mindegyik lányhoz van legalább egy olyan feladat, amelyet mindketten megoldottak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan feladat, amelyet legalább három lány és legalább három fiú megoldott. IMO 2001.3.

6. Egy n×n-es mátrix elemei nemnegatív egészek. Ha a mátrix valamely eleme 0, akkor a sorában és oszlopában álló elemek összege legalább n. Biz. a mátrix összes elemének összege legalább n²/2. IMO 1971.6.

7. Tekintsünk egy n×n-es négyzet alakú táblát, ahol n rögzített páros pozitív egész. A tábla n² egységnégyzetre van felosztva. Azt mondjuk, hogy a tábla két különböző négyzete szomszédos, ha van közös oldaluk. A táblán N egységnégyzet meg van jelölve oly módon, hogy minden négyzet (jelölt vagy nem jelölt) szomszédos legalább egy jelölt négyzettel. Határozzuk meg N lehetséges legkisebb értékét. IMO 1999.3.

Olimpiai szakkör 2017. november 24.

1. Oldjuk meg: x+xy+y+5=0; x²y+xy²+6=0.

2. Melyik az a csupa különböző számjegyből álló ötjegyű szám, amelyik egyenlő a számjegyeiből alkotható összes háromjegyű szám összegével?

3. Tudjuk, hogy (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz. Mennyi lehet (x+y)(y+z)(z+x)?

4. 4x⁴-11x²+9x+b=0. Mely b esetén lesz két különböző olyan gyök, melyek összege –1.

5. Két egymást követő egész szám mindegyike megegyezik saját számjegyei köbének összegével. Melyek ezek a számok?

6. Van-e olyan negyedfokú 5 tagból álló polinom, melynek a négyzete is 5 tagból áll? (Az ehatók lehetnek komplexek is.)

7. a,b,c olyan poz. valós számok, amelyekre abc=1. Biz: IMO 95.2.

8. Határozzuk meg az összes olyan (m,n) párt, ahol m,n egész számok, amikre m,n≥3, amelyekhez létezik végtelen sok olyan a pozitív egész szám, amire egész szám. IMO 2002.3.

2018. január 19.

1. Mely n egészekre igaz: bármely n irracionális szám közt található három úgy, hogy páronkénti összegeik mind irracionálisak.

2. Legyen a G összefüggő gráf éleinek száma k. Bizonyítsuk be, hogy meg lehet az éleket számozni az 1,2,…,k számokkal úgy, hogy minden olyan csúcs esetén, amelyből legalább két él indul ki, az illető csúcsokból kiinduló összes élhez rendelt számok legnagyobb közös osztója 1. IMO 1991.4.

3. Egy baráti találkozó 9 résztvevője közül bármely hármat tekintve van köztük kettő, akik kezet fogtak. Igazoljuk, hogy van négy ember, akik mindannyian kezet fogtak egymással.

4. Tekintsünk 9 pontot a térben, amelyekből semelyik négy nem fekszik egy síkban. Mindegyik pontpárt összekötjük egy éllel és mindegyik ilyen élt pirosra vagy kékre festünk, vagy pedig színezetlenül hagyjuk. Határozzuk meg a legkisebb olyan n értéket, amelyre igaz, hogy valahányszor a kiszínezett élek száma pontosan n, mindig teljesül, hogy a kiszínezett élek halmaza szükségképpen tartalmaz egy olyan háromszöget, amelynek mindegyik éle ugyanolyan színű. IMO 1992.3.e

5. Egy nemzetközi társaságnak 1978 tagja van 6 különböző országból. A tagokat 1-től 1987-ig számozták meg. Mutassuk meg, hogy van legalább egy olyan tag, akinek a sorszáma megegyezik két honfitársa sorszámának az összegével, vagy kétszer akkora, mint egy honfitársa sorszáma. IMO 1978.6.

6. Adott a síkon rácspontoknak egy véges halmaza. Döntsük el, vajon lehetséges-e minden esetben ezek közül a pontok közül néhányat pirosra, a többit pedig fehérre színezni úgy, hogy minden olyan egyenesen, amely párhuzamos valamelyik koordináta-tengellyel, a rajta levő piros pontok száma legfeljebb 1-gyel térjen el az ugyancsak rajta levő fehér pontok számától. IMO 1986.6.

7. Egy matematikaversenyen 21 lány és 21 fiú vett részt. Mindegyik versenyző legfeljebb hat feladatot oldott meg. Mindegyik fiúhoz és lányhoz van legalább egy olyan feladat, amelyet mindketten megoldottak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan feladat, amelyet legalább három lány és legalább három fiú megoldott. IMO 2001.3.

8. Legyen S egy négyzet, amelynek oldalhosszúsága 100 és L egy S-ben fekvő, önmagát nem metsző töröttvonal, amely az A₀A₁, A₁A₂, …, A_n-1A_n szakaszokból áll, ahol A₀≠A_n. Tegyük fel, hogy az S négyzet határának minden P pontjához van L-nek olyan pontja, amelynek P-től való távolsága nem nagyobb ½-nél. Bizonyítandó, hogy van L-en olyan X és Y pont, amelyeknek a távolsága nem nagyobb 1-nél és L-nek X és Y közötti része legalább 198 hosszúságú. IMO 1982. 6.

9. Egy téglatest egy csúcsból induló három élének összege legyen a téglatest summája. Tartalmazhat-e egy téglatest nála nagyobb summájú másik téglatestet? Városok Viadala 1998

2018. február 23. (OKTV II és III kategóriás döntők 2000, 2001)

1. Legyen a H={1, 2, 3, ..., 2000, 2001} halmaz 77 elemű részhalmazai közül azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páros, S-sel egyenlő, és azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páratlan, N-nel egyenlő. Melyik nagyobb: S vagy N? És mennyivel?

2. Egy hatoldalú szabályos gúla alaplapja és oldallapjai által bezárt szög egyenlő bármely két másodszomszédos oldallap síkjának a hajlásszögével. Mekkora szöget zárnak be a gúla oldalélei az alaplappal?

3. Bizonyítsuk be, hogy az a₁, a₂, ..., a_n pozitív számokra teljesül az ${a_1^2\over a_1+a_2}+{a_2^2\over a_2+a_3}+\dots+{a_{n-1}^2\over a_{n-1}+a_n}+{a_n^2\over a_n+a_1}\ge {1\over2}(a_1+a_2+\dots+a_n)$

4. Legyen c pozitív egész, és jelölje c₁, c₃, c₇, ill. c₉ rendre a c azon pozitív osztóinak a számát, amelyek utolsó számjegye (tízes számrendszerben) 1, 3, 7, ill. 9. Bizonyítsuk be, hogy c₁+c₉ $\ge$ c₃+c₇.

5. Adottak a síkon a k₁ és k₂ körök, valamint a P pont. Szerkesztendõ olyan, a P-n átmenõ e egyenes, amely a k_i köröket (i=1,2) az A_i és B_i pontokban metszi úgy, hogy a k_i körvonalak alkalmas C_i pontjaira A₁C₁=A₂C₂=B₁C₁=B₂C₂ teljesül. (Nem szükséges annak diszkutálása, hány ilyen e egyenes létezik, illetve létezik-e egyáltalán ilyen e egyenes.)

6. Adott k+m darab különbözõ, 1-nél nagyobb egész szám, a₁,..., a_k, b₁,...,b_m, ahol mindegyik a_i páros sok, mindegyik b_j pedig páratlan sok (nem feltétlenül különbözõ) prímszám szorzata. Hányféleképpen lehet a k+m darab szám közül néhányat (akár egyet sem, akár az összeset) kiválasztani úgy, hogy bármelyik b_j-nek (j=1,2,...,m) a kiválasztott számok között páros sok osztója legyen?

7. Az ABC háromszög AB oldalát kívülről érintő hozzáírt kör AB-t a P pontban, AC meghosszabbítását a Q pontban érinti; a BC oldalt kívülről érintő kör pedig AC meghosszabbítását az U pontban, AB meghosszabbítását az X pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy a PQ és az UX egyenesek metszéspontja egyenlő távol van az AB és a BC egyenesektől.

8. Van-e olyan n-oldalú sokszög, amelyben a hegyesszögek száma n²-30n+ 236?

9. Legyen n rögzített, 1-nél nagyobb egész szám. Adjunk meg olyan x₁, x₂, ..., x_n valós számokat, amelyekre teljesülnek az x₁+x₂+...+x_n=2(n-1) és az (x₁-1)²+ (x₂-1)²+...+ (x_n-1)²=n egyenlőségek, és x_n értéke a lehető legnagyobb.

10. Az x₁,x₂,...,x_n (n $\ge$ 2) valós számok közül bármelyik x_i megegyezik az összes többi x_j négyzetének az összegével. Határozzuk meg az összes ilyen tulajdonságú szám-n-est.

11. Vegyünk fel egy-egy belsõ pontot egy paralelogramma négy oldalszakaszán. Bizonyítsuk be, hogy az általuk kifeszített négyszög kerülete legalább kétszer akkora, mint a paralelogramma rövidebbik átlója.

12. Adjuk meg a pozitív egészeknek egy olyan H részhalmazát, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal: (i) minden elég nagy pozitív egész elõáll legfeljebb 100 darab H-beli (nem feltétlenül különbözõ) elem összegeként; (ii) 2002 a legkisebb olyan k érték, amelyre minden elég nagy pozitív egész elõáll pontosan k darab H-beli (nem feltétlenül különbözõ) elem összegeként.

2018. március 23.

1. Egy 10 tagú csoport minden tagját megkérték, írjanak le három különböző pozitív egész számot. Később kiderült, hogy bármely két ember számai között volt legalább egy azonos. Az 1-es számot éppen n ember választotta és semelyik más számot nem választották ennél többen. Mi lehetett n értéke?

2. Legyen A az S={1,2,…,1000000} halmaz egy 10 elemű részhalmaza. Biz, találhatók olyan t₁, t₂, …, t₁₀₀ számok az S halmazban, amelyekre az A_j={x+t_j|xÎA}, j=1,2,…,100 halmazok páronként diszjunktak.

3. Az ABC hegyesszögű háromszögben AC ≠ BC A háromszög köré írt kör középpontját jelölje O, magasságpontját pedig M. Az A, B és C csúcsokhoz tartozó magasságok talppontjai legyenek rendre A₁, B₁ és C₁. Jelölje D a C csúcsnak az A₁B₁ egyenesre vonatkozó tükörképét. Igazoljuk, hogy az O, M, D és C₁ pontok egy körre illeszkednek.

4. Adott egy konvex hatszög, amelyben bármely két szemközti oldalra teljesül a következő tulajdonság: Az oldalak középpontjai közötti távolság -szerese a hosszuk összegének. Biz a hatszög valamennyi szöge egyenlő.

5. Igazoljuk, hogy minden n≥2 egész számra: .

6. Legyen p prímszám. Biz. létezik olyan q prím, amivel minden egész n-re n^p-p nem osztható q-val.

Olimpiai szakkör 2018. április 13.

1. Legyen n 1-nél nagyobb egész szám, n összes pozitív osztója d₁, d₂, …, d_k ahol 1=d₁<d₂<…<d_k=n. Legyen D=d₁d₂+d₂d₃+…+d_k_-1d_k. Biz D<n². Mely n-re lesz D oszója n²-nek? IMO 2002.4.

2. Legyen BC az O középpontú K kör átmérője. Legyen A a K kör egy olyan pontja, amire 0<AOBÐ<2π/3.Legyen D a C-t nem tartalmazó AB ív középpontja. Az O-n keresztül DA-val párhuzamosan húzott egyenes messe az AC egyenest a J pontban. OA felező merőlegesének és K-nak a metszéspontjai legyenek E és F. Biz J a CEF beírt körének középpontja. IMO 2002.2.

3. a,b,c poz. valósak, amelyekre abc=1. Biz . IMO 200.2.

4. Legyen n egy 1-nél nagyobb páratlan egész, k₁,k₂,…, k_n pedig adott egészek. Az 1,2,…, n számok mind az n! darab a=(a₁,a_2,…,a_n) permutációjára legyen . Biz van két olyan b és c permutáció, amelyekre b≠c és n! osztója (S(b)-S(c))-nek. IMO 2001.4.

5. Legyenek K₁,K₂,…,K_n egységsugarú körök a síkban, ahol n legalább 3. Jelölje a középpontjaikat O_i. Tegyük fel, hogy nincs olyan egyenes amelynek kettőnél több körrel van közös pontja. Biz . IMO 2002.6.

6. Legyenek a,b,c,d, egészek, melyekre a>b>c>d>0. T. fel ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). Biz ab+cd nem prím. IMO 2001.6.