Olimpiai szakkörök feladatanyaga a 2017-2018-as tanévben:

 

Olimpiai szakkör 2017. szeptember 15.

1.                  Bebizonyítandó, hogy egész szám akkor és csakis akkor összege két négyzetszámnak, ha kétszerese ilyen tulajdonságú.  (Kürschák 1938.1.)

2.                  Minden a0>1 egész számra definiáljuk az a0, a1, a2, … sorozatot a következőképpen. Minden n≥0-ra legyen an+1=, ha  egész, különben an+1=an+3. Határozzuk meg az összes olyan a0 értéket, amihez van olyan A szám, amire an=A teljesül végtelen sok n-re.  (IMO 2017.1.)

3.                  Legyenek a1, a2, a3, a4, a5, és b olyan egész számok, hogy . Bebizonyítandó, hogy ezek a számok nem lehetnek mindannyian páratlanok. (Kürschák 1931.2.)

4.                  Legyen d olyan pozitív egész, amely nem egyenlő sem 2-vel, sem 5-tel, sem 13-mal. Mutassuk meg, hogy a {2, 5, 13, d} halmazban van két olyan különböző elem: a és b, amelyekre ab–1 nem négyzetszám. (IMO 1986.1.)

5.                  a2+u2=b2+(u+1)2=c2+(u+2)2=d2+(u+3)2.     (a, b, c, d, u egészek ) 

6.                  Legyenek a és b olyan pozitív egészek, amelyekre ab+1 osztója a2+b2-nek. Bizonyítsuk be hogy (a2+b2)/(ab+1) négyzetszám. (IMO 1988.6.)

7.                  Van-e 21 szomszédos pozitív egész úgy, hogy az első 11 és a további 10 négyzetösszege megegyezik?

8.                   .   (a, b, c, d, u pozitív egészek )  (VMO 2002.5.)

 

 

Olimpiai szakkör 2017. október 13.

1. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének középpontja O. Legyen P az A-ból induló magasság talppontja a BC oldalon. Tegyük fel, hogy BCAÐABCÐ+30°. Bizonyítsuk be, hogy CABÐ+COPÐ<90°.  IMO 2001.1.

2. Legyenek R és S különböző pontok egy körön, amikre RS nem átmérője a körnek.

Legyen  l az körhöz a R pontban húzott érintőegyenes. Legyen T az a pont, amire teljesül az, hogy

S az RT szakasz felezőpontja. Legyen J egy olyan pont az kör rövidebb RS ívén, amire teljesül

az, hogy a JST háromszög Γ körülírt köre az l egyenest két különböző pontban metszi. Legyen Γ és

l metszéspontjai közül az A pont az, ami közelebb van az R-hez. Az AJ egyenes -val vett második

metszéspontja legyen K. Bizonyítsuk be, hogy a KT egyenes érintője a Γ körnek. IMO 2017.4.

3. Legyen ABCD egy húrnégyszög. A D pontból a BC, CA és AB egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek rendre P, Q és R. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül PQ=QR, ha az ABCÐ és ADCÐ szögek szögfelezőinek metszéspontja az AC egyenesen van.  IMO 2003.4.

4. Legyen P egy pont az ABC háromszög belsejében. Az AP, BP és CP egyenesek

másik metszéspontja az ABC háromszög Γ körülírt körével legyen rendre K, L és M. A Γ körhöz C

pontban húzott érintő messe az AB egyenest az S pontban. Tegyük fel, hogy SC = SP. Bizonyítsuk

be, hogy MK = ML.  IMO 2010.4.

5. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen I. A háromszög P belső pontja kielégíti a PBAÐ+PCAÐ=PBCÐ+PCBÐ egyenlőséget. Bizonyítsuk be, hogy APAI, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha P=I. IMO 2006.1

6. P és Q az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalszakaszán úgy helyezkedik el, hogy PABÐ=BCAÐ és CAQÐ=ABCÐ.  Az M ill. N pontok az AP ill. AQ egyenesen úgy helyezkednek el, hogy P az AM szakasz felezőpontja és Q az AN szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy a BM és CN egyenesek az ABC háromszög körülírt körén metszik egymást. IMO 2014.4.

 

Olimpiai szakkör 2017. október 27.

1.         Egy versenyen a versenyző és b bíró van, ahol b≥3 páratlan szám. Mindegyik bíró mindegyik versenyző teljesítményét „megfelelt” ill. „nem megfelelt” minősítéssel értékeli. Tegyük fel, hogy a k számra igaz az, hogy bármely két bíró értékelése legfeljebb k versenyző esetén esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy . IMO 1998.2.

2.         Legyen ABCD egy téglalap alakú tábla, amelynek oldalhosszai: AB=20, BC=12. A táblát felbontjuk 20×12 egységnégyzetre. Legyen r egy adott pozitív egész szám. egy bábuval akkor és csakis akkor léphetünk valamelyik négyzetről egy másikra, a akét négyzet középpontjának távolsága . A feladat az, hogy olyan lépéssorozatot találjunk, amivel a bábuval eljuthatunk arról a négyzetről, amelynek egyik csúcsa A, arra a négyzetre, amelynek egyik csúcsa B. (a) Biz. nincs megoldás, ha r osztható 2-vel vagy 3-mal; (b) Biz. a feladat megoldható, ha r=73; (c) Van-e megoldás r=97 esetén? IMO 1996.1.

3.         Legyen n pozitív egész szám, és legyenek A1, A2, …, A2n+1 a B halmaz részhalmazai. Tegyük fel, hogy mindegyik Ai-nek pontosan 2n eleme van; mindegyik AiÇAj metszetnek pontosan egy eleme van; a B halmaz minden eleme benne van legalább két Ai-ben.   n milyen értékeire rendelhető hozzá a B minden eleméhez a 0 és 1 számok egyike úgy, hogy minden Ai-nek pontosan n olyan eleme legyen, amelyhez a 0-t rendeltük? IMO 1988.2.

4.         Egy n×n-es mátrixot, amelynek elemei az S={1,2,…,2n-1} halmazból valók, ezüst mátrixnak nevezünk, ha minden i=1,2,…,n esetén az i-dik sor és az i-dik oszlop együtt tartalmazza S valamennyi elemét. Biz (a) nem létezik ezüst mátrix, ha n=1997; (b) végtelen sok olyan n van, amire létezik ezüst mátrix. IMO 1997.4.

5.         Egy matematikaversenyen 21 lány és 21 fiú vett részt. Mindegyik versenyző legfeljebb hat feladatot oldott meg. Mindegyik fiúhoz és mindegyik lányhoz van legalább egy olyan feladat, amelyet mindketten megoldottak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan feladat, amelyet legalább három lány és legalább három fiú megoldott. IMO 2001.3.

6.         Egy n×n-es mátrix elemei nemnegatív egészek.  Ha a mátrix valamely eleme 0, akkor a sorában és oszlopában álló elemek összege legalább n. Biz. a mátrix összes elemének összege legalább n2/2.  IMO 1971.6. 

7.         Tekintsünk egy n×n-es négyzet alakú táblát, ahol n rögzített páros pozitív egész. A tábla n2 egységnégyzetre van felosztva. Azt mondjuk, hogy a tábla két különböző négyzete szomszédos, ha van közös oldaluk. A táblán N egységnégyzet meg van jelölve oly módon, hogy minden négyzet (jelölt vagy nem jelölt) szomszédos legalább egy jelölt négyzettel. Határozzuk meg N lehetséges legkisebb értékét. IMO 1999.3.

 

Olimpiai szakkör 2017. november  24.

1.         Oldjuk meg: x+xy+y+5=0; x2y+xy2+6=0.

2.         Melyik az a csupa különböző számjegyből álló ötjegyű szám, amelyik egyenlő a számjegyeiből alkotható összes háromjegyű szám összegével? 

3.         Tudjuk, hogy (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz. Mennyi lehet (x+y)(y+z)(z+x)?

4.         4x4-11x2+9x+b=0. Mely b esetén lesz két különböző olyan gyök, melyek összege –1.

5.         Két egymást követő egész szám mindegyike megegyezik saját számjegyei köbének összegével. Melyek ezek a számok?

6.         Van-e olyan negyedfokú  5 tagból álló polinom, melynek a négyzete is 5 tagból áll? (Az ehatók lehetnek komplexek is.)

7.         a,b,c olyan poz. valós számok, amelyekre abc=1.  Biz:    IMO 95.2.

8.         Határozzuk meg az összes olyan (m,n) párt, ahol m,n egész számok, amikre m,n≥3, amelyekhez létezik végtelen sok olyan a pozitív egész szám, amire  egész szám. IMO 2002.3.