Olimpiai szakkörök feladatanyaga a 2018-2019-es tanévben:
Olimpiai szakkör 2018. szeptember 14. 1. Fedhető-e a sakktábla 15 fekvő és 17 álló dominóval?
2. Egy 10´10´10-es doboz kitölthető-e 1´1´4-es téglatestekkel?
3. n poz. egész. 1´n-es
téglalapokból kirakunk egy a´b méretűt.
Biz. n osztja a-t, vagy b-t.
4. Egy 6´6-os táblát 1´2-es dominókkal fedtek. Biz. van olyan
osztóvonal, amely nem vág ketté dominót.
5. Tegyük fel,
hogy az a,b,c,d egész
számok nem mind egyenlők. Ebből a számnégyesből elkészítjük az (a-b,b-c,c-d,d-a) számnégyest, majd ebből hasonló módon lépegetünk tovább.
Igazoljuk, hogy bármiből is indultunk, véges sok lépés után a számnégyes egyik
tagja nagyobb lesz 2018 milliónál.
6. Egy nagy
téglalapot kisebb téglalapokra vágtunk, melyeknek legalább egyik oldala egész
hosszúságú. Biz. a nagy téglalap legalább
egyik oldala egész hosszú.
7. Legyen G a
hegyesszögű ABC háromszög körülírt
köre. D és E legyenek az AB ill. AC. szakaszok
olyan pontjai, amelyekre AD=AE. A BD és CE szakaszok
felezőmerőlegesei a G kör rövidebb AB ill. AC íveit az F és G
pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a DE
és FG egyenesek párhuzamosak, vagy
egybeesnek. IMO 2018.1.
8. Egy szabályos
ötszög minden csúcspontjához oly módon rendeltünk egy-egy egész számot, hogy
ennek az öt számnak az összege pozitív legyen. Ha az öt csúcs közül három egymás
utánihoz írt számokat rendre x, y, z-vel jelölünk és y<0, akkor helyükre írható
(ugyanebben a sorendben) az x+y, -y, z+y. Ezt
ismételgethetjük, amíg van negatív y szám. Döntsük el, minden esetben
befejeződik-e az eljárás véges sok lépésben. IMO 1986.3.
9. Egy 8´8-as sakktábla mezőin lépegetünk, mindig
oldalszomszédosakra és minden mezőt egyszer érintve visszajutunk a kiinduló
mezőre. Lehet-e, hogy mindkét irányban 32 lépést tettünk?
Olimpiai szakkör 2018. október 12.1. Biz. ha 6 osztja három egész összegét, akkor a köbeik összegét is osztja. Igaz-e a megfordítás?2. Mely számoknak van olyan többese, amelyben csak az 1 és 2 jegyek szerepelnek?3. Biz. Minden 3n azonos jegyből álló szám osztható 3n-nel.4. Biz öt darab kettőhatvány közt van három, melyek szorzata köbszám. 5. Adjuk meg a 16000-nek minél több osztóját úgy, hogy közülük egyik sem osztja a másikat. Oldjuk meg ezt a feladatot 27000-rel is.6. Az n jegyű K számot nevezzük ismétlőnek, ha K2 utolsó n jegye éppen K. Keresük meg n=2,3,4 esetén az ismétlő számokat.7. Van-e pozitív egészeknek olyan sorozata, amelyben csak a szomszédosak relatív prímek? Olimpiai szakkör 2018. október 26.
1. Az ABC háromszög oldalaira kifele szabályos háromszögeket szerkesztünk, ezek csúcsai P, Q és R. Szerkesztendő ABC, ha adott PQR.
2. Az ABC háromszög oldalain levő P, Q, R pontokra: AP:PB=BQ:QC=CR:RA=2:1. Szerk. ABC, ha adott PQR.
3. P, Q, R adottak a síkon. Szerkesszük meg azt az ABCD négyszöget, melynek AB, BC és CD oldalait rendre felezik P, Q és R, továbbá AB=BC=CD.
4. Az ABC szabályos háromszög belső P pontjára PA=3, PB=4, PC=5. Mekkora AB?
5. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha b=5, c=8 és az A-ból induló súlyvonal szögharmadoló.
6. Az ABCD négyzet belső pontja P. PD=1, PA=2, PB=3. Mekkora az APDÐ?
7. Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, aminek a magasságpontja H. Legyen D az a pont, aminek a választásával a HABD négyszög paralelogramma (ahol AB || HD és AH || BD). Legyen E a DH egyenes azon pontja, amivel teljesül az, hogy az AC egyenes átmegy a HE szakasz felezőpontján. Legyen F az AC egyenesnek és a DCE háromszög körülírt körének másik metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy EF=AH.
8. Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló (a,b) számpárt, amire: (b2+11(a–b))2 = a3×b.
9. Legyen pozitív egészek egy véges halmaza A. Nevezzük A szép kettévágásának, ha elemeit két nem üres, diszjunkt A1, A2 részhalmazokba osztjuk oly módon, hogy A1 elemeinek legkisebb közös többese éppen egyenlő A2 elemeinek legnagyobb közös osztójával. Határozzuk meg a legkisebb n számot, amelyre létezik n elemű A halmaz, amelynek pontosan 2015 szép kettévágása van. (7-8-9 a 2016/2. válogató feladatai)
Olimpiai szakkör 2018. november 9..
1. Egy társasutazás bármely 4 résztvevője között van olyan, aki a másik 3 mindegyikével már máskor is találkozott. Biz. bármely 4 résztvevő közt van olyan, aki minden útitárssal találkozott már.
2. Biz, ha egy egyszerű gráfban minden pont foka legalább 3, akkor van a gráfban páros hosszúságú kör.
3. Igazoljuk, ha egy gráfban minden pont foka 4, akkor az élek színezhetők pirossal és kékkel úgy, hogy minden pontból két piros és két kék indul.
4. Igazoljuk, hogy ha egy összefüggő gráf K köréből egy élet törölve a gráf egy leghosszabb útját kapjuk, akkor K Hamilton köre a gráfnak.
5. Egy gyár 8 féle színből kétszínű kelméket gyárt. Minden szín előfordul legalább 4 párosításban. Bizonyítsuk be, hogy található négy olyan kelme, amelyeken mind a 8 szín előfordul.
6. Egy 10 pontú gráfban van 26 él. Igazoljuk, hogy van benne legalább kettő páratlan hosszú kör.
7. Egy társaságban bármely 4 ember között van olyan, aki a másik 3 közül pont egyet ismer. Mennyi a társaság maximális létszáma?
8. Egy sakk körmérkőzésen k ember vett részt és mindenki mindenkivel egyszer játszott. Miután az összes mérkőzés lezajlott kiderült, hogy bármely 4 versenyző között van olyan, aki a másik három közül egyet megvert, egytől kikapott, a harmadikkal döntetlenben egyezett meg. Legyen ilyen feltételek mellett k a lehető legnagyobb. Bizonyítsuk be, hogy 6≤k≤9.
Olimpiai szakkör 2018. november 23.
1. a1=a2=1,(n>2). Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden eleme egész.
2. a1=a, a2=b, minden további elem az előző kettő számtani közepe. Hova tart a sorozat?
3. Legyen an az 1, 2, …, n szám azon permutációinak száma, amelyekben minden i-re az i-edik szám és i eltérése legfeljebb 2. Mennyi a8? Keressünk rekurzív összefüggést an-re.
4. A Pascal háromszög n-edik sorának elemeinek reciprokösszegéről mit mondhatunk?
5. a0=0, a1=1, an=2an-1+an-2 (n>1). Biz 2k|an Û 2k|n.
6. Legyenek a0, a1, …, a100 pozitív egészek, a1>a0, i=2,3,…, 100 esetén ai=3ai-1-2ai-2. Biz a100≥299.
7. Legyenek a es b pozitív egészek, amelyekre a!b! az a!+b!-nak többszöröse. Biz. 3a ≥2b+2.
8. Pozitív valós számoknak
egy a1,a2,… sorozatára
teljesül 
minden pozitív egész k esetén. Bizonyítsuk be, hogy a1+a2+…+an≥n teljesül minden n≥2-re.
9. Az ABC derékszögű háromszög C csúcsából az AB átfogóra bocsátott magasságvonal talppontja legyen H. A CBH háromszög egy belső D pontjára teljesül, hogy az AD szakaszt felezi CH. Legyen a BD és CH egyenesek metszéspontja P. Legyen továbbá k az a BD átmérőjű félkör, amely a CB szakaszt metszi. A k-hoz P-ből húzott érintő érintési pontja Q. Igazoljuk, hogy a CQ és AD egyenesek metszéspontja rajta van k-n.
Olimpiai szakkör 2018. december 7. 1. Mely a és b egészekre igaz b/(a-1)+(a-4)/(b+1)=1.
2. Melyik az a négyjegyű szám, amelyre 4abcd=dcba?
3. Igazoljuk, ha n olyan poz egész, hogy 2n+1 és 3n+1 is négyzetszám, akkor 40|n.
4. Mely poz. egészekre igaz: x3-y3=xy+61?
5. Igazoljuk, ha n és m is a2+ab+b2 alakú, akkor a szorzatuk is ilyen.
6. Keressük az egész megoldásokat: y2+y=x4+x3+x2+x.
Olimpiai szakkör 2019. január 11. 1. Lehet-e a+b+c+d prím, ha ab=cd és a változók mind pozitív egészek?
2. Nyolc diák dolgozatot írt, ugyanazt a nyolc példát kellett megoldaniuk. Biz. ha minden példát öten oldottak meg, akkor található két diák, akik együtt az összeset megoldották. Igaz-e ez, öt helyett néggyel is?
3. Az ABC derékszögű háromszög beírt köréhez két érintőt húzunk, melyek merőlegesek az AB átfogóra. Ezek AB-t P és Q pontokban metszik. Mekkor a PCQÐ?
4. Van-e olyan 11 tagú számtani sorozat, melynek tagjai pozitív egészek és a számjegyek összegéből képzett sorozat is számtani.
5. Az x1, x2, …, xn valós számok szorzata p. Igazoljuk, hogy amennyiben p-xk mindig páratlan egész, akkor mind az n szám irracionális.
6. A négyzetháló rácspontjai közül némelyik piros, közülük semely négy nem esik egy körre. Igazoljuk, hogy van olyan 2018 sugarú kör, amelynek a belsejében nincs piros pont.
7. Az x4+ax3+2x2+bx+1=0 egyenletnek van valós gyöke. Igazoljuk hogy a2+b2≥8.
8. Igazoljuk, hogy nincs olyan f(x) függvény, amelyre minden valós x-re f(f(x))=x2-1996.
Olimpiai szakkör 2019. január 25. 1. Bizonyítsuk be, hogy az x2+y2+z2=(x-y)(y-z)(z-x) egyenletnek végtelen sok megoldása van az egész
számok körében.
2. Az x4+ax3+2x2+bx+1=0 egyenletnek van valós gyöke. Igazoljuk hogy a2+b2≥8.
3. Az 1, 2, ..., n számok közül kiválasztható-e úgy egy k szám, hogy az M=(1! ∙ 2! ∙ 3! ∙ ... ∙ n!)/k! kifejezés értéke négyzetszám legyen, ha (a) n=2019; (b) n=2020?
4. Két sorozatunk van, az egyik periódusa n, a másiké k, ahol (n,k)=1. A két sorozat első t eleme megegyezik. Mi lehet t legnagyobb értéke?
5. Az ABC háromszög A-ból induló szögfelezője a BC oldalt D-ben metszi. Az ABD háromszög beírt köre az AB oldalt E-ben, az ADC háromszög beírt köre az AC oldalt H-ban érinti. Igazoljuk, hogy az EH egyenes az említett két körből egyenlő hosszúságú húrokat metsz ki.
6. (a) Hány részhalmaza van a H={1,2,3,...,10} halmaznak, amelyben az elemek szorzata osztható 30-cal? (b) Hány olyan S részhalmaza van H-nak, amelyre S minden elemének valamely szomszédja is S-beli (azaz ha xÎS, akkor van olyan yÎS, amelyre |x-y|=1)?
7. Legyen S egy 5 pontból álló halmaz a síkon, a pontok közt nincs három egy egyenesen. Legyen M(S) és m(S) a pontokból kiválasztható háromszögek területének maximuma illetve minimuma. Mi az M(S)/m(S) hányados lehetséges legkisebb értéke?