Olimpiai szakkörök feladatanyaga a 2019-2020-as tanévben:

Olimpiai szakkör 2019. szeptember 20. 1. Az ABC háromszögben A1 a BC oldalon, B1 pedig az AC oldalon fekszik. Legyenek P és Q rendre az AA1 és BB1 szakaszok olyan pontjai, amelyekre a PQ párhuzamos AB-vel. Legyen P1 a PB1 egyenes egy olyan pontja, amire B1 a PP1 szakasz belsejében fekszik és PP1CÐ=BACÐ. Hasonlóan legyen Q1 a QA1 egyenes egy olyan pontja, amire A1 a QQ1 szakasz belsejében fekszik és CQ1QÐ=CBAÐ. Bizonyítsuk be, hogy a P, Q, P1, Q1 pontok egy körön fekszenek.

2. ABCD konvex négyszög. Az A csúcson át párhuzamost húzunk BD-vel, ez lesz az e egyenes. A B csúcson át párhuzamost húzunk AC-vel, ez lesz az f egyenes. Legyen e és f metszéspontja E. Igazoljuk, hogy EC ugyanolyan arányban osztja BD-t, mint ED AC-t.

3. Az ABC háromszögben AB=AC. A háromszög oldalaira kifele rajzoljuk az azonos körüljárású, egymáshoz hasonló ABC’, BCA’, d’ háromszögeket. AB:BC:CA=AC’:BA’:CB’=BC’:CA’:AB’. Bizonyítsuk be, hogy AA’, BC’ és CB’ egy ponton mennek át.

4. Papposz-Pascal tétel: Adott a síkon két egyenes e és f. Az e egyenes három pontja A, C, E, az f egyenes három pontja B, D, F. Az AB és DE egyenesek metszéspontja K, a BC és EF egyenesek metszéspontja L, a CD és FA egyenesek metszéspontja M. Bizonyítsuk be, hogy K, L, M egy egyenesen vannak.

5. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, AC=BC. AB felezőpontja F. Egy F-en át húzott egyenes AD-t P-ben a DB átló B-n túli meghosszabbítását Q-ban metszi. Igazoljuk, .

6. Az ABC háromszög beírt köre a megfelelő oldalakat rendre az A’, B’, C’ pontokban érinti. Az A’ pont merőleges vetülete a B’C’ egyenesre T. Igazoljuk, hogy .

7. Az ABC háromszögbe írható kör O középpontjára illeszkedő e egyenes az AB és AC oldalakat M és N pontokban metszi. D és E a BO és CO egyenesek olyan pontja, amelyre ND||ME||BC. Igazoljuk, hogy az A, D, és E pontok egy egyenesre illeszkednek.

8. Az ABC háromszög síkjában van a P pont. Ismerjük a PA, PB, PC egyeneseket, továbbá adott az AB, BC és CA oldal belső C’, A’ és B’ pontja. Szerkesztendő ABC.

9. Az ABC háromszög B és C csúcsából induló magasságának talppontja B’ és C’. A B’C’ egyenes a BC egyenest a D pontban metszi. Legyen ABC magasságpontja M. igazoljuk, hogy DM merőleges az A-ból induló súlyvonalra.

Az október 11-i szakkört Kós Géza tartotta.

Olimpiai szakkör 2019. október 25. 1. Az ABC háromszögben A1 a BC oldalon, B1 pedig az AC oldalon fekszik. Legyenek P és Q rendre az AA1 és BB1 szakaszok olyan pontjai, amelyekre a PQ párhuzamos AB-vel. Legyen P1 a PB1 egyenes egy olyan pontja, amire B1 a PP1 szakasz belsejében fekszik és PP1CÐ=BACÐ. Hasonlóan legyen Q1 a QA1 egyenes egy olyan pontja, amire A1 a QQ1 szakasz belsejében fekszik és CQ1QÐ=CBAÐ. Bizonyítsuk be, hogy a P, Q, P1, Q1 pontok egy körön fekszenek.

2. Papposz-Pascal tétel: Adott a síkon két egyenes e és f. Az e egyenes három pontja A, C, E, az f egyenes három pontja B, D, F. Az AB és DE egyenesek metszéspontja K, a BC és EF egyenesek metszéspontja L, a CD és FA egyenesek metszéspontja M. Bizonyítsuk be, hogy K, L, M egy egyenesen vannak.

3. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, AC=BC. AB felezőpontja F. Egy F-en át húzott egyenes AD-t P-ben a DB átló B-n túli meghosszabbítását Q-ban metszi. Igazoljuk, .

4. Az ABC háromszög beírt köre a megfelelő oldalakat rendre az A’, B’, C’ pontokban érinti. Az A’ pont merőleges vetülete a B’C’ egyenesre T. Igazoljuk, hogy .

5. Az ABC háromszögbe írható kör O középpontjára illeszkedő e egyenes az AB és AC oldalakat M és N pontokban metszi. D és E a BO és CO egyenesek olyan pontja, amelyre ND||ME||BC. Igazoljuk, hogy az A, D, és E pontok egy egyenesre illeszkednek.

6. Az ABC háromszög B és C csúcsából induló magasságának talppontja B’ és C’. A B’C’ egyenes a BC egyenest a D pontban metszi. Legyen ABC magasságpontja M. Biz. DM merőleges az A-ból induló súlyvonalra.

7. Az ABC háromszög köréírt körének B és C-beli érintőinek metszéspontja P. Igazoljuk, hogy PA az A-ból induló szimmedián! (A szimmedián a súlyvonalnak a szögfelezőre vett tükörképe.)

8. Pillangó tétel: Egy kör AB húrjának felezőpontja F. Az egyik AB íven van C és D. CF és DF egyenesek második metszéspontja a körrel rendre E és G. DE és GC az AB-t rendre X és Y-ban metszik. Biz. XF=YF.

9. (MEMO 2008) Az ABC egyenlő szárú háromszögben AC=BC. A háromszög beírt köre az AB oldalt D-ben, BC-t E-ben érinti. Egy AE-től különböző, de A-n áthaladó egyenes a beírt kört az F és G pontokban metszi. Az AB egyenes EF-et és EG-t rendre K-ban és L-ben metszi. Igazoljuk, hogy DK=DL.

Olimpiai szakkör 2019. november 29. 1. Prím-e 22019-1; 22020+1?
2. Tekintsük az 1/x+1/y=1/p egyenletet a pozitív egészek felett. Igazoljuk, hogy éppen akkor van három megoldás, ha p prím. (A megoldásoknál a sorrend is számít, pl p=2 esetén a megoldások (3;6) (6;3) és (4;4).)
3. Prím-e 10000…01 (2019 db. 0 a szám közepén); 1280000401; 4545+5454?
4. Legyen k=2n-1. Igazoljuk, hogy 22k+2k+1-nek legalább n különböző prímosztója van.
5. Lehet-e az 1, 2, …, n számok reciprokának összege egész?
6. Igazoljuk, hogy van olyan prím, ami előtt és után is legalább 2019 összetett szám van.
7. Van-e 1-nél nagyobb egész n, amire n5+n4+1 prím?
8. Választunk egy többjegyű N számot, majd készítünk egy végtelen sorozatot úgy, hogy mindig egy jegyet - ami nem 9 - jobbra a végére írunk. Biz. végtelen sok összetett szám lesz a sorozatban.
9. Az nn+1 alakú számok közül melyek lesznek 1019-nél kisebb prímek?
10. Biz. ha n ≥ 3, akkor 2n felírható 2n = 7x2 + y2 alakban, ahol x és y páratlan egészek.
 
A december 13-ai szakkörön az EGMO válogató feladatait és megoldásait beszéltük meg, a szakkört Fekete Panni vezette.

Olimpiai szakkör 2020. január 17. 1. Az ABCD trapézban AB és CD párhuzamosak. Hol vannak a trapéz síkjában azok a P pontok, amelyekre az APD és BPC háromszögek területe ugyanakkora?
2. Mely poz. eg. n-re létezik n darab (nem feltétlenül kül.) egész úgy, hogy ezek összege és szorzata is n?
3. Igazoljuk, hogy két pozitív szám négyzetes és harmonikus közepének összege mindig legalább akkora, mint a számtani és mértani közepük összege. Igaz ez három változóra is?
4. Az ABC hegyesszögű háromszögben BACÐ=60°, b>c. A magasságpont M, (ABC) középpontja O. Biz ha MO az A-ból induló oldalakat metszi, akkor az ABC-ből egy b+c kerületű háromszöget vág le és OM=b-c.
5. Egy trapézt az egyik szárával párhuzamosan egy paralelogrammára és egy háromszögre bontunk és megrajzoljuk a trapéz és a paralelogramma átlóit. Mennyi a trapéz párhuzamos oldalainak aránya, ha a három átló által határolt háromszög területének és a trapéz területének az aránya maximális?
6. Határozzuk meg a legnagyobb olyan k egészet, amely rendelkezik az alábbi tulajdonsággal: minden olyan esetben, amikor az x, y egész számokra xy+1 osztható k-val, akkor x+y is osztható k-val. 
7. Hayd és Beethoven a következő játékkal ünneplik Mozart születésnapját. Felváltva mondanak számokat a következő szabály szerint. Először Haydn kimondja a 2 számot. Ettől kezdve a soron következő játékos az addig elhangzott számok közül kettőnek az összegét vagy a szorzatát mondhatja (szabad egy számot önmagával is összeadni, vagy megszorozni), de mindenképpen olyan számot kell mondani, amely korábban még nem volt és 1756-nál nem nagyobb. Az nyer, aki elsőként tudja kimondani az 1756-ot. Kinek van nyerő stratégiája? 
 
Olimpiai szakkör 2020. január 31. 1. Legyen an a legnagyobb olyan n-jegyű poz.eg., amely nem lehet két négyzetszámnak se összege, se különbsége. Mi a legkisebb n, amire an jegyeinek négyzetösszege négyzetszám?
2. Egy háromszögnél az egyik csúcsból induló magasság felezőpontját összekötjük a csúccsal szemközti oldalon a hozzáírt kör érintési pontjával. Igazoljuk, hogy az így adódó három egyenes egy ponton megy át. 
3. x,y,z nemnegatív valós számokra x2+y2+z2+x+2y+3z=13/4. Mekkora max(x+y+z)? Biz .
4. Egy szabályos tetraéder három lapja fehér, egy fekete. Ha kezdetben a fekete lapján áll, gördíthetjük-e úgy élei mentén, hogy a kiindulási helyére visszaérkezve fehér lapon álljon?
5. Az ABC háromszög A csúcsából merőlegeseket bocsátunk a másik két csúcsból induló szögfelezőkre, ezek talppontjai A1 és A2. Uígy a másik két csúcsnál. Mennyi az A1A2+B1B2+C1C2 értéke, ha ABC kerülete 2020?
6. Megadható-e a1,a2, …,a2020 különböző poz. egészek úgy, i<j re aj–ai=(ai;aj).
7. A sík egy H ponthalmaza szép, ha H bármely háromelemű részhalmaza tengelyesen szimmetrikus. Igazoljuk az alábbi két állítást: (i) Egy szép halmaz nem feltétlenül tengelyesen szimmetrikus. (ii) Egy 2003 elemű szép halmaz pontjai szükségképpen egy egyenesre esnek.
8. Legyen t rögzített poz. eg. és jelölje ft(n) azon k poz. egészeknek a számát, amelyekre 1≤k≤n és  páratlan. Biz, ha n elég nagy kettőhatvány, akkor , ahol az r egész szám csak a t-től függ, az n-től nem. 
 
Olimpiai szakkör 2020. február 14. 1. Az ABC háromszög AB oldalát kívülről érintő kör AB-t a P pontban, AC meghosszabbítását a Q pontban érinti. A BC oldalt kívülről érintő kör pedig AC meghosszabbítását U, AB meghosszabbítását X pontban érinti. Biz PQ és UX metszéspontja egyenlő távol van az AB és BC egyenesektől. 
2. Van-e olyan n oldalú sokszög, amelyben a hegyesszögek száma n2-30n+236?
3. Legyen n rögzített 1-nél nagyobb egész. Adjunk meg olyan x1, x2, …, xn valós számokat amelyek összege 2(n-1), a náluk eggyel kisebb számok négyzetösszege pedig n, továbbá xn értéke a lehető legnagyobb.
4. Van-e olyan nem konstans eg. együtthatós polinom, amely minden poz. eg. helyen k! alakú értéket vesz fel?
5. Mennyi a lottóhúzás második legnagyobb számának várható értéke?
6. Bergengóciában 11 számból 3-at húznak a lottón. Betli Benő lottózik. Hány szelvényt kell kitöltenie a biztos betlihez?
7. A Bergengóc szuperlottón 14 számból húznak 3-at. Legalább hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy legyen biztosan legalább két találatunk?
8. Pozitív egész számok véges halmazait vizsgáljuk. Egy ilyen halmaz „összegosztós”, ha a halmaz minden eleme osztója az elemek összegének. (a) Adjunk meg olyan összegosztós halmazt, melynek eleme a 7 és a 17. (b) Igazoljuk, hogy pozitív egészek egy tetszőleges véges H halmazához létezik olyan összegosztós G, amelyre H részhalmaza G-nek. 
 
Olimpiai szakkör 2020. február 28. 1. Bergengóciában 11 számból 3-at húznak a lottón. Betli Benő lottózik. Hány szelvényt kell kitöltenie a biztos betlihez?
2. A Bergengóc szuperlottón 14 számból húznak 3-at. Legalább hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy legyen biztosan legalább két találatunk?
3. Pozitív egész számok véges halmazait vizsgáljuk. Egy ilyen halmaz „összegosztós”, ha a halmaz minden eleme osztója az elemek összegének. (a) Adjunk meg olyan összegosztós halmazt, melynek eleme a 7 és a 17. (b) Igazoljuk, hogy pozitív egészek egy tetszőleges véges H halmazához létezik olyan összegosztós G, amelyre H részhalmaza G-nek. 
4. x, y és z is pozitív, 4-nél kisebb valósak. Biz az 1/x+1/(4-y); 1/y+1/(4-z) és 1/z+1/(4-x) számok között van olyan, amely nagyobb vagy egyenlő 1-nél.
5. Keressük az 5x2–14y2=11z2 egész megoldásait.
6. Igazoljuk, hogy  osztható m-mel.
7. Legyen c pozitív egész, és jelölje c1, c3, c7, c9, rendre a c azon osztóinak a számát, amelyek utolsó jegye 1,3,7,9. Biz c1+c9≥c3+c7.
8. Adottak a síkon a k1 és k2 körök, valamint a P pont. Szerkesztendő olyan P-n átmenő egyenes, amely a köröket az A1, B1 illetve A2, B2 pontokban metszi, továbbá a körvonalak alkalmas C1 és C2 pontjaira A1C1=A2C2=B1C1=B2C2.
9. Adott k+m darab különböző 1-nél nagyobb egész a1,a2,…,ak,b1,…,bm, ahol mindegyik ai páros sok, mindegyik bi páratlan sok nem feltétlenül különböző prím szorzata. Hányféleképpen lehet a k+m darab szám közül néhányat (akár egyet sem, akár az összeset) kiválasztani úgy, hogy bármelyik bj-nek a kiválasztott számok között páros sok osztója legyen?