Olimpiai szakkörök 2010 januártól:

Január 8 és 22, február 5 és 19, március 5 és 19.

Az első válogatóverseny tervezett időpontja 2010. március 31. 10-14.15. a Kutatóintézet nagytermében.

2010. január 8. Olimpiai szakkör

Az első négy feladat a Mat.II. OKTV második fordulójának példái.

1. Adott az x(x²+y²)+y(x²+y²)-4x-4y=0 alakzat. Ennek melyik pontja van legközelebb a (-3/2;5/2)-hez?

2. Biz. 55 darab egymást követő egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám.

3. Egy háromszög belsejébe helyezzünk el három olyan kört, amelyek érintik a háromszög két-két oldalát, továbbá kívülről érintik a háromszög beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy e három kör sugarának összege nem kisebb a beírt kör sugaránál.

4. Hány megoldása van a következő egyenletnek 2009=({x}[x])/x.

5. Egy játékban 5 cm sugarú körlemezek és 5 cm oldalú négyzetlapok vannak. Egy ovis kisfiú azzal szórakozik, hogy egy körlaphoz hozzáilleszt egy négyzetet valamelyik csúcsával, majd további négyzeteket vesz, minden négyzet egy csúcsával a körhöz ér, a szomszédos négyzetet nem fedi, hanem a kettőnek van egy érintkező csúcsa. Hány négyzetet lehet így körberakosgatni? Igaz-e, hogy a rakosgatás éppen körbeér, az első és az utolsó is csúccsal találkozik?

6. A hét különböző jegyet tartalmazó számokat kipróbálhatjuk a szerencsegépen. A gépnek van egy 7 kül. jegyből álló varázsszáma. Ha a mi számunk és a varázsszám legalább egyetlen helyiértéken megegyezik, akkor nyerünk egy Túró Rudit. Biz. ha nem ismerjük a varázsszámot, akkor is lehet TR-t szerezni ઋ-nél kevesebb próbával.

(A szakköröseket megtréfáltam a különleges karakterrel. Ennek értéke 7.)

7. Egy új honlapra 2000 ember regisztrálta magaát. Mindegyikük 1000 másikat jelölt meg szimpatikusnak. Két embert a rendzser akkor és csak akkor kezel barátként, ha a szimpátia kölcsönös. Legkevesebb hány pár tekinthető barátnak?

8. Mely poz. eg. a és b esetén lesz (a+b²)(b+a²) kettőhatvány?

9. Az ABCD rombusz BC és CD oldalán van P és Q úgy , hogy BP=CQ. Biz. APQ súlypontja BD-n van.

10. Anna és Béla utazgatást tervez a 2009-szigetekre. Bizonyos szigetek között van oda-vissza kompjárat. Minden szigeten van reptér. Az első szigetet Anna választja, onnan kompozgatnak mindig új szigetre, melyeket sorban Béla, Anna stb. felváltva választanak. Ha olyan helyre érkeznek, ahonnan már nem tudnak tovább kompozni, hazarepülnek Igazoljuk, hogy Anna el tudja érni, hogy ő válasszon utoljára.

2010. január 22.

1. 10 egyforma kancsó mindegyikében legfeljebb 10%-nyi víz van. Egy kancsót megfoghatunk és a többi kilenc mindegyikébe tölthetünk ugyanannyit a kezünkben levőből. Biz. max.10 ilyen művelettel elérhető, hogy minden kancsóban ugyanannyi víz legyen.

2. 1000 kockánk van, mindegyiknek két szemközti oldala piros, mási kető fehér, a harmadik pár zöld. Összeragasztjuk őket egy 10´10´10-es kockává úgy, hogy a belül érintkező lapok azonos színűek. Biz. a nagy kocka valamelyik oldalán csak egyetlen színt látunk.

3. A végtelen négyzterácsra 2009 darab egybevágó négyzetet teszünk, melyek minden oldala rácsegyenesre illeszkedik. A lapok fedhetik egymást, a tegtöbbször fedett kis mezőt k lap fedi. Azokat az 1´1-es mezőket bejelöljük, amelyeket páratlan sok négyzet fed. Biz a bejelölt mezők száma legalább k.

4. Egy gömb érinti egy tetraéder minden élét. Összekötjük a kitérő éleken levő érintési pontokat. Biz az így kapott három egyenes egy ponton megy át.

5. Jelölje 1_n az n darab 1-esből álló számot, és legyen [n]!=1×11×…×1_n. Biz [n+m]! osztható [n]!×[m]!-ral.

6. Adott a térben egy zárt ABCDEF töröttvonal, melynek szemközti szakaszai párhuzamosak. Biz, ha AB és DE nem ugyanakkora, akkor mind a hat pont egy síkban van.

7. Egy szabályos 2009 szög minden oldalán kijelöltünk egy pontot, az általuk meghatározott soxög területe T. A szab. 2009-szög minden oldalán a kijelölt pontot tükrözzük az oldalfelező pontra. Biz az így kapott soxög területe is T.

8. Egy országnak két fővárosa van, az északi és a déli, ezen kívül van még sok további város. Bizonyos városok közt közvetlen út fut, ezek egy része fizetős. Tudjuk, hogy a két főváros közti utak mentén legalább 10 fizetős szakasz van. Biz. a fizetős utakat üzemeltetheti 10 társaság úgy, hogy bármely út mentén mind a 10 társaságnak legyen szakasza.

2010. február 5.

Ezt a szakkört Hraskó András tanar úr tartotta. A szakkör anyagát a következő linken lehet elérni: http://matek.fazekas.hu/portal/olimpia/szakkor/20100205/olimpiaiszakkor_100205.pdf

2010. február 19.

2010. március 5.

Ezen a szakkörön a mat II és III kategóriák OKTV döntős feladatait beszéltük meg.

2010. március 19.

1. Egy n´n-es sakktábla mezőibe különböző poz egészeket írunk. Igazoljuk, hogy lesz két (él)szomszédos mező, melyeknek különbsége legalább n.

Feladatok a nagyvilágból 1. 3. 5. 6. 7. 9.

2010. április 9.

Ezt a szakkört Kós Géza vezette. Íme a feladatsor.